CLASSE D'ÉQUIVALENCE

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 434 mots

Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e  siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle d […] Lire la suite

ENSEMBLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • André ROUMANET, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 8 743 mots
  •  • 20 médias

Dans le chapitre « Ensemble quotient »  : […] Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence. Pour tout élément x  ∈ E, on appelle classe d'équivalence de x l'ensemble, noté C x ou ẋ , des éléments de E qui sont équivalents à x  ; c'est le sous-ensemble de E : qui est toujours non vide, car il contient x (réflexivité). Remarquons que tous les éléments d'une même classe d'équivalence sont équivalents entre eux et que deux éléments équiv […] Lire la suite

FREGE GOTTLOB (1848-1925)

  • Écrit par 
  • Claude IMBERT
  •  • 3 260 mots

Dans le chapitre « Le développement de l'idéographie »  : […] Soit à définir le nombre cardinal sans demander à l'expérience ni ses caractères ni sa donnée de fait ; il doit être conçu comme une « extension de concept ». Ce nouvel outil logique apporté par les Fondements est sans aucun doute un héritage de Port-Royal et de Leibniz. Mais, en reprenant le terme à la tradition, Frege peut, à juste titre, s'attribuer le mérite d'avoir été le premier à lui donne […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Classes suivant un sous-groupe »  : […] Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. La relation : est une relation d'équivalence sur G. En effet x  ∼ g  x , car x -1 x  = 1 ∈ H ; si x  ∼ g  y , l'élément x -1 y appartient à H et, par suite, aussi son inverse ( x -1 y ) -1  =  y -1 x , ce qui signifie : y  ∼ g  x  ; la transitivité résulte du fait que, si x -1 y et y -1 z sont deux éléments du sous-groupe H, leur produit ( x -1 y )( y -1 […] Lire la suite