ASYMPTOTIQUES CALCULS

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Comparaison de la croissance des fonctions

L'étude de la manière dont des quantités tendent vers l'infini ou tendent vers zéro a constitué, à la naissance du calcul infinitésimal, au xviie siècle, la théorie des « infiniment grands » et de leurs inverses, les « infiniment petits », et a fait l'objet de polémiques passionnées, souvent paramathématiques. En effet, l'absence d'une conception précise de la notion de limite (problème qui ne fut pas abordé sous forme rigoureuse) rendait mystérieuse la nature de ces quantités qui, tout en étant comparables entre elles, n'étaient pas comparables aux nombres ou aux fonctions. De plus, cela représentait l'intrusion de l'infini dans les calculs et, bien que cet infini fût potentiel et non actuel (en ce sens que l'infini n'était pas considéré en lui-même comme un être mathématique soumis à des règles opératoires précises), cela suscitait des problèmes philosophiques aux mathématiciens, échaudés par les nombreux « paradoxes de l'infini » qui n'étaient pas encore clairement analysés. La recherche des « vraies valeurs » des formes indéterminées, rencontrées dans le calcul des dérivées par exemple, allait cependant montrer l'importance de ces notions et les justifier, tout au moins empiriquement, aux yeux des mathématiciens. Ces questions ont été systématiquement élucidées par Paul Du Bois-Reymond, qui, dans une série d'articles de 1870-1871, a posé les fondements du calcul des infiniment grands (Infinitär-calcul) en mettant en évidence l'importance de la notion d'échelle de comparaison ; il a étudié également en détail l'intégration et la dérivation des relations de comparaison. Tous ces résultats ont trouvé leur forme rigoureuse et définitive dans les travaux de Hardy.

Relations de comparaison

Dans de nombreuses questions d'analyse, on est conduit à étudier l'« ordre de grandeur » d'une fonction f (n) d'une variable entière positive pour n grand, ou d'une fonction f (x) d'une variable continue x lorsque x est grand, ou voisin d'une valeur a. For [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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NUMÉRIQUE ANALYSE

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  • Jean-Louis OVAERT, 
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Dans le chapitre « Généralisations »  : […] On suppose que a ( n ) −  a admet un développement asymptotique de la forme : on notera que le cas où r n admet un développement asymptotique de la forme : se ramène au précédent en introduisant la suite ( a ′( n )) de terme général […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/#i_33324

STIRLING JAMES (1692-1770)

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Mathématicien anglais, né en mai 1692 à Gardon (Stirling) et mort le 5 décembre 1770 à Édimbourg, qui fit faire d'importants progrès à la théorie des séries. Renvoyé d'Oxford pour intelligence avec les jacobites, James Stirling vint, en 1715, étudier à Venise, ce qui lui valut de surnom de Stirling le Vénitien. Il y découvrit les secrets de fabrication des verriers et publia ultérieurement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stirling-james-1692-1770/#i_33324

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « ASYMPTOTIQUES CALCULS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/