SYMBOLIQUE CALCUL

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Transformées de Laplace

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Automatique : application de la transformation de Laplace

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Transformées en z de suites simples

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Transformation de Laplace des fonctions et des mesures

Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur l'ensemble R des nombres réels et nulle pour les valeurs strictement négatives de la variable (c'est-à-dire que f est une fonction « à support positif »). Sa transformée de Laplace est la fonction Lf de la variable complexe p définie par la formule :

De même si μ est une mesure sur R à support positif, c'est-à-dire telle que μ(ϕ) = 0 pour toute fonction ϕ nulle pour les valeurs positives de la variable, sa transformée de Laplace est la fonction Lμ de la variable complexe p définie par la formule :

si μ est une mesure de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue, alors on a Lμ = Lf. On notera par la suite Y la fonction définie par Y(t) = 1 si ≥ 0 et Y(t) = 0 si < 0. On voit par un calcul élémentaire que la transformée de Laplace de Y est 1/p. Plus généralement, la transformation de Laplace de f(t) = Y(t)eλt est 1/(p − λ).

Au lieu du symbole L pour représenter la transformation de Laplace, on utilise souvent un symbole, par exemple −−|, pour relier les expressions analytiques d'une fonction et de sa transformée de Laplace. On écrira par exemple :

et dans de nombreux ouvrages on sous-entend le facteur Y(t).

En fait, la transformée de Laplace d'une mesure μ n'est définie que pour les valeurs de p pour lesquelles la fonction e-pt est intégrable par rapport à μ. On a le résultat suivant, facile à démontrer. Théorème 1. Il existe un nombre ξ0 tel que la fonction e-pt soit intégrable par rapport à μ pour Re > ξ0 et non intégrable pour Re < ξ0, en désignant par Re p la partie réelle de p.

Le nombre ξ0 est appelé abscisse d'intégrabilité. Il peut être égal à + ∞ ou à − ∞. Pour une fonction f, on supposera f intégrable sur tout intervalle fini, de sorte que f est la densité d'une mesure μ. L'abscisse d'intégrabilité de Lμ est appelée abscisse de convergence absolue de Lf. Si Re > ξ0, l'intégrale :

est absolument convergente, et, si Re < ξ0, cette intégrale n'est pas absolument convergente (elle peut être divergente ou « semi-convergente »). Par exempl [...]

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CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
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Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée était toujours florissante et parmi les professeurs de Clebsch on compte F. Richelot et O. Hesse, élèves de Jaco […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/rudolf-friedrich-alfred-clebsch/#i_13123

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Pour citer l’article

Robert PALLU DE LA BARRIÈRE, « SYMBOLIQUE CALCUL », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-symbolique/