SYMBOLIQUE CALCUL

Transformation de Laplace des fonctions et des mesures

Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur l'ensemble R des nombres réels et nulle pour les valeurs strictement négatives de la variable (c'est-à-dire que f est une fonction « à support positif »). Sa transformée de Laplace est la fonction Lf de la variable complexe p définie par la formule :

De même si μ est une mesure sur R à support positif, c'est-à-dire telle que μ(ϕ) = 0 pour toute fonction ϕ nulle pour les valeurs positives de la variable, sa transformée de Laplace est la fonction Lμ de la variable complexe p définie par la formule :

si μ est une mesure de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue, alors on a Lμ = Lf. On notera par la suite Y la fonction définie par Y(t) = 1 si t ≥ 0 et Y(t) = 0 si t < 0. On voit par un calcul élémentaire que la transformée de Laplace de Y est 1/p. Plus généralement, la transformation de Laplace de f(t) = Y(t)e^λt est 1/(p − λ).

Au lieu du symbole L pour représenter la transformation de Laplace, on utilise souvent un symbole, par exemple −−|, pour relier les expressions analytiques d'une fonction et de sa transformée de Laplace. On écrira par exemple :

et dans de nombreux ouvrages on sous-entend le facteur Y(t).

En fait, la transformée de Laplace d'une mesure μ n'est définie que pour les valeurs de p pour lesquelles la fonction e^-pt est intégrable par rapport à μ. On a le résultat suivant, facile à démontrer. Théorème 1. Il existe un nombre ξ₀ tel que la fonction e^-pt soit intégrable par rapport à μ pour Re p > ξ₀ et non intégrable pour Re p < ξ₀, en désignant par Re p la partie réelle de p.

Le nombre ξ₀ est appelé abscisse d'intégrabilité. Il peut être égal à + ∞ ou à − ∞. Pour une fonction f, on supposera f intégrable sur tout intervalle fini, de sorte que f est la densité d'une mesure μ. L'abscisse d'intégrabilité de Lμ est appelée abscisse de convergence absolue de Lf. Si Re p > ξ₀, l'intégrale :

est absolument convergente, et, si Re p < ξ₀, cette intégrale n'est pas absolument convergente (elle peut être divergente ou « semi-convergente »). Par exempl [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 4 pages

Afficher les 3 médias de l'article