NUMÉRIQUE CALCUL

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Le calcul sur les nombres réels

Développements décimaux

Nous ne traiterons pas ici des différents systèmes de numération.

On sait que l'école platonicienne considérait que seuls les entiers naturels non nuls sont des nombres. Par ailleurs, la théorie des grandeurs (Euclide, livres V et X) fournit un cadre très malaisé pour le calcul sur les rapports non entiers. Les mathématiciens de l'école alexandrine, en particulier Archimède (287-212 av. J.-C.), Héron (ier siècle) et Diophante (325-410), développent le calcul sur les fractions et sur les racines carrées. Ces difficultés persisteront en Occident jusqu'au xvie siècle, comme en témoigne la terminologie de nombres absurdes, irrationnels, irréguliers, inexplicables, sourds, rompus, etc.

C'est la construction du système décimal, motivée en particulier par les nécessités du commerce, qui va permettre d'unifier le domaine numérique, comme en témoigne l'œuvre de Simon Stevin (1548-1620). Le système décimal est exposé dans L'Arithmétique (1585), sous le titre : « La disme enseignant facilement expedier par nombres entiers sans rompuz, tous comptes se rencontrans aux affaires des Hommes ». Stevin insiste sur le fait que la représentation décimale illimitée permet d'assimiler les irrationnels à de véritables nombres, puisqu'ils ont les mêmes propriétés opératoires. Dans le Traité des incommensurables grandeurs (paru en 1634), Stevin approfondit la notion théorique de nombre réel ; il affirme que les difficultés rencontrées par les mathématiciens dans la mesure des grandeurs (cf. Euclide, livre X) viennent du fait « qu'ils ne tenaient pas les radicaux pour nombres, mais pour quantités sourdes, absurdes... et pas dignes d'être citées en propositions mathématiques ». Cette nouvelle conception a eu une grande influence, non seulement pour la construction des nombres réels, mais aussi pour l'élaboration du calcul différentiel : Newton, dans La [...]

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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, « NUMÉRIQUE CALCUL », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-numerique/