CALCUL INFINITÉSIMALCalcul à une variable

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Notion de borne supérieure

Nous désignerons par R l'ensemble des nombres réels  ; il nous suffira de savoir qu'un nombre réel est un développement décimal illimité précédé d'un signe (qu'on omet s'il s'agit du signe +), par exemple le nombre − 3,141 59. ... ou bien le nombre 1 = 1,000 0.. ... = 0,999 99. ..., et que l'on peut effectuer sur ces nombres des opérations algébriques que tout le monde connaît. On peut aussi comparer deux nombres réels x et y, autrement dit donner un sens à la relation x < y (qui exclut, notons-le, l'égalité x = y). On peut, à partir de là, définir des intervalles de plusieurs natures ; par exemple, si a et b sont deux nombres réels donnés, on définit quatre intervalles dont a et b sont les extrémités, et qui ne diffèrent entre eux que dans la mesure où ils contiennent, ou non, leurs extrémités : l'intervalle [ab] est l'ensemble des nombres x tels que a ≤ x ≤ b, l'intervalle [ab[ est formé des x tels que  x b, etc. Les intervalles de la forme [ab] sont dits compacts, et les intervalles de la forme ]ab[ sont dits ouverts.

Considérons maintenant un ensemble E de nombres réels. On dit qu'il est borné supérieurement s'il existe un nombre réel M tel que l'on ait ≤ M pour tout ∈ E (rappelons que cette notation signifie que le nombre x appartient à E, ou est un élément de E), et borné inférieurement s'il existe un nombre m tel que l'on ait ≤ x pour tout ∈ E. Si E est borné supérieurement et inférieurement (c'est-à-dire s'il existe un intervalle compact qui contient E), on dit que E est borné tout court. Par exemple, l'ensemble N des entiers naturels (ses éléments sont 0, 1, 2, ...) est borné inférieurement, mais non supérieurement, tandis que l'ensemble des nombres rationnels x tels que x< 2 est borné supérieurement (en effet x< 2 implique x≤ 8 = 23, d'où x ≤ 2, comme on le voit facilement).

Soit E un ensemble borné supérieurement, et soit M un nombre tel que ≤ M pour tout ∈ E. S'il existe un nombre M′ < M tel que l'on ait aussi ≤  [...]

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Pour citer l’article

Roger GODEMENT, « CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-une-variable/