CALCUL DIFFÉRENTIEL & INTÉGRAL
INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler)
C'est à l'Académie des sciences de Berlin que Leonhard Euler (1707-1783) publie en 1748 le premier des trois grands traités didactiques où il expose sa conception du calcul différentiel et intégral. L'Introductio in analysin infinitorum met au premier plan le concept de fonction défini comme « une expression analytique composée d'u […] […] Lire la suite
LEIBNIZ : CALCUL DIFFÉRENTIEL
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publie en 1684 les détails de son calcul différentiel dans son traité Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Il y reprend ses découvertes antérieures. Il avait introduit la notation moderne d'une intégrale dès 1675, calculé les dérivées des fonctions usuelles en 1 […] […] Lire la suite
TRAITÉ DE CALCUL DIFFERENTIEL ET DE CALCUL INTÉGRAL
Le mathématicien français Joseph Bertrand, après avoir été un étudiant très précoce – il a soutenu sa thèse à l'âge de dix-sept ans – et publié de nombreux travaux en théorie des nombres et en théorie des groupes, est devenu en 1862 professeur d'analyse au Collège de France. Il rédige de nombreux livres destinés à des lycéens puis s'engage dans la rédaction d'un cours en trois volumes, le […] […] Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « Mesure et intégration » : […] La conception de l'intégrale au xviii e siècle reposait sur la notion intuitive d'« aire » : pour une fonction f ( x ), continue et ≥ 0 dans un intervalle a ≤ x ≤ b , l'intégrale : était l'aire comprise entre la courbe y = f ( x ), l'axe O x et les deux droites x = a et x = b . Avec la remise en ordre générale de l'analyse entreprise par Cauchy, on revient à une définition rigoureuse n'empru […] […] Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à plusieurs variables
Dans le chapitre « Formulation intrinsèque de la théorie » : […] Les inconvénients des dérivées partielles posèrent, dès l'apparition du calcul vectoriel, le problème de la formulation intrinsèque de la théorie, en mettant en évidence des expressions invariantes par changement de coordonnées ; M étant un point de coordonnées ( x,y,z, ... ), on ne parlera plus de fonctions des variables, mais de fonctions du point M. Une étape historique importante, aujourd'hui […] […] Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL Histoire
Dans le chapitre « Le problème des tangentes » : […] Mais il est temps de revenir aux autres savants qui ont participé, avec Cavalieri, à l'édification des méthodes nouvelles de calcul préfigurant celles du calcul infinitésimal qui seront mises au point par Newton et Leibniz dans le dernier tiers du xvii e siècle. Avant même la publication du traité de Cavalieri, Fermat et Descartes se trouvent engagés dans d'importantes recherches concernant, en […] […] Lire la suite
CALCUL, mathématique
Dans le chapitre « Calcul algébrique, différentiel et intégral » : […] Le calcul n'est pas que numérique. Le monde musulman découvre vers l'an 1000 que des manipulations de symboles permettent de déterminer la valeur de quantités connues seulement indirectement par les relations qu'elles entretiennent. C'est l'avènement de l'algèbre, originellement procédé effectif de réduction d'équations où figurent des inconnues. Ce déplacement du domaine du calcul, des nombres v […] […] Lire la suite
DISTRIBUTIONS, mathématiques
Il est arrivé à plusieurs reprises que certaines exigences de la physique, par exemple, aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des « calculs » non rigoureusement justifiables au moyen des concepts mathématiques existants, mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale. C'est ainsi que l'ingénieur Heaviside introduisit dans l'étude des réseaux électriques (en 1894) les règle […] […] Lire la suite
FERMAT : DÉTERMINATION DES TANGENTES À UNE COURBE
Magistrat exerçant à Toulouse et à Castres, Pierre de Fermat (1601-1665) consacrait aux mathématiques ses moments de loisirs. En 1629, il invente une méthode de recherche des maximums et des minimums qui apparaît comme un travail précurseur du calcul différentiel. En 1638, l'application de cette méthode à la détermination des tangentes à une courbe est considérée comme un acte fondateur de la géom […] […] Lire la suite
FERMAT PIERRE DE (1601-1665)
Dans le chapitre « Calcul infinitésimal » : […] Dès 1629, Fermat, dans sa Méthode de recherche des maximums et des minimums , apparaît comme un précurseur du calcul différentiel. Voici, en langage plus moderne, cette méthode : Si R ( x ) est une fonction rationnelle de x , l'équation R ( x ) = K a généralement au moins deux racines a et a + e . Une valeur extrémale de R a lieu pour un x compris entre a et a + e . On développera par rapp […] […] Lire la suite
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
Dans le chapitre « Fonctions définies par des intégrales » : […] On se donne une fonction ( x , t ) ↦ f ( x , t ) définie sur A × I, à valeurs complexes, où A est un espace métrique et I un intervalle de R (ou, plus généralement, une partie localement compacte de R m ). On veut alors étudier la fonction : On dispose alors des trois résultats suivants, dont le premier est élémentaire. Théorème 1. Dérivation sous le signe somme (cas des intervalles compact […] […] Lire la suite
FRÉCHET MAURICE (1878-1973)
Mathématicien français dont le nom reste attaché principalement à l'introduction des espaces métriques en analyse fonctionnelle. Né à Maligny, Fréchet entra à l'École normale supérieure en 1900. Il fut successivement professeur de mécanique à l'université de Poitiers (1910-1919), professeur d'analyse supérieure à l'université de Strasbourg (1920-1927) ; après sa venue à Paris, où il resta jusqu'à […] […] Lire la suite
GREGORY JAMES (1638-1675)
Mathématicien et opticien écossais, James Gregory naît en novembre 1638 près d’Aberdeen, en Écosse, fils cadet d’un prêtre anglican. Sa mère puis son frère David l’initient à la géométrie et en particulier à la lecture des É léments d’Euclide pendant son adolescence. Il entre ensuite à l’université d’Aberdeen. Il y étudie l’optique et s’intéresse à la construction de télescopes ; il invente le t […] […] Lire la suite
LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)
En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule parcourant une courbe à l'aide de deux quantités : la vitesse horizontale x' et la vitesse verticale y' qu'il appelle fluxions des quantités fluentes x et y as […] […] Lire la suite
LEIBNIZ GOTTFRIED WILHELM
Dans le chapitre « Un mathématicien de génie qui renouvelle la pensée mathématique » : […] C'est que Leibniz, cas unique dans l'histoire des sciences, n'était pas seulement un grand mathématicien : ses mathématiques étaient étroitement liées à sa métaphysique ; il ne s'était intéressé aux mathématiques, seule forme explicite de pensée symbolique, que pour faire progresser l'art d'inventer en général. Il fallait étendre cette pensée par signes à toutes les connaissances. C'est dans ce s […] […] Lire la suite
LIMITE NOTION DE
La notion de limite fait son apparition dans un ouvrage du mathématicien anglais B. Robins intitulé A Discourse Concerning the Nature and Certainty of Sir Isaac Newton's Method of Fluxions and Prime and Ultimate Ratios (1735) ; c'est une réponse aux critiques formulées par le philosophe G. Berkeley à l'encontre du calcul infinitésimal dans son célèbre pamphlet The Analyst (1734). Robins essaie d […] […] Lire la suite
THÉORÈMES DES INTÉGRALES DE CAUCHY
L’élaboration des méthodes qui aboutiront au théorème intégral de Cauchy dans l’analyse complexe s’étend sur plusieurs années. L’étude des fonctions d’une variable complexe a en effet occupé Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) pendant toute sa jeunesse, et il a développé sa théorie des fonctions holomorphes dans plusieurs articles publiés entre 1814 et 1831. On distingue particulièrement dans cette […] […] Lire la suite
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
Dans le chapitre « Intégration des formes différentielles » : […] Soit X une sous-variété compacte à bord de dimension n d'une variété V de dimension n (il se peut que le bord de X soit vide et même que X = V). Considérons une carte (U, ϕ) de V telle que : et une forme ω de degré n sur V, qui est nulle en dehors d'un compact K contenu dans ϕ(U). La forme ω s'écrit : si (U′, ϕ′) est une autre carte telle que ϕ′(U′) contienne K, la forme ω s'écrit également : o […] […] Lire la suite
Nova stereometria doliorum vinarorum (J. Kepler)
Dans son ouvrage écrit en 1615, Kepler additionne les volumes de couches élémentaires, en décomposant en tranches des formes qui possèdent un axe de symétrie, pour calculer leur volume total. Beaucoup considère ce travail de Kepler comme un des jalons qui précèdent la création...
Crédits : Courtesy of Posner Library, Carnegie Mellon University, Pittsburgh
Esprit encyclopédique, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) est à la fois philosophe, mathématicien, linguiste, juriste, théologien. Dans la Monadologie (1721), il évoque la possibilité d'une harmonie préétablie de l'Univers. Portrait de Leibniz, Hist. Museum...
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Le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783). Il rédige notamment, en 1748, Introduction à l'analyse infinitésimale, où il traite de l'étude générale des fonctions et met en évidence pour la première fois les liens entre fonctions exponentielles et fonctions...
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Nova stereometria doliorum vinarorum (J. Kepler)
Crédits : Courtesy of Posner Library, Carnegie Mellon University, Pittsburgh
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Gottfried Wilhelm Leibniz
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Leonhard Euler
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