BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)

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Construction logique et ensembliste

Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie distingue les éléments simples à partir desquels tout peut être reconstruit, de même Bourbaki décrit les structures les plus complexes, et particulières, à partir de certaines structures, plus simples et plus générales. Il distingue les structures algébriques, qui interviennent dans toute l'algèbre, les structures topologiques, qui interviennent dans toute l'analyse, puis des structures combinées. Le corps des nombres réels est, à ce titre, une structure très compliquée : combinaison de deux structures algébriques (la loi d'addition et celle de multiplication) et d'une notion de limite. Il apparaît donc assez tard dans l'exposition bourbakiste, dont les titres de livres parus sont, dans l'ordre de publication : l'algèbre, la topologie générale, les espaces vectoriels topologiques, la théorie de l'intégration, les groupes et algèbres de Lie, l'algèbre commutative, les théories spectrales, les variétés, la théorie des ensembles, les fonctions d'une ou plusieurs variables réelles. Chacun des livres s'appuie sur les notions précédemment introduites, en les combinant entre elles.

Les traités classiques d'analyse de la fin du xixe siècle, à la suite de Meray et Weierstrass, nous ont habitués à un autre mode d'exposition. Le point de départ en est la notion de nombre entier, d'où on déduit les fractions, puis les nombres réels, puis les fonctions numériques... Le dessein de ces mathématiciens était très proche de celui de Bourbaki : il s'agissait de donner des bases solides et commodes aux mathématiques de leur époque. L'immense majorité des mathématiciens contemporains et des utilisateurs des mathématiques ont été initiés en suivant ce plan, au sortir de leurs études élémentaires.

Dans l'esprit d'un large public s'est donc développée cette idée que la théorie des ensembles est synonyme de la mathématique contemporaine. Bourbaki, désigné par la renommée publique comme porte-drapeau de cette mathématique, a été tenu pour responsable des diverses expériences pédagogiques qui s'efforcent d'introduire, sous forme coloriée, le langage de la théorie des ensembles dans l'enseignement élémentaire. Pour détruire ce préjugé, il suffit de faire un bref historique de l'évolution du langage mathématique depuis la fin du xixe siècle.

C'est à cette époque que Cantor et Dedekind, créateurs de la théorie des ensembles, ont conçu le vaste plan de refonte des mathématiques sur les notions qu'ils venaient d'explorer. Une fois surmontée la crise subie de 1900 à 1906 par la théorie cantorienne, l'axiomatisation fondée sur la théorie des ensembles va commencer à se développer. En Allemagne, Steinitz s'attaque à l'algèbre dès 1907. Très vite, suit la topologie générale. La théorie des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie se développe entre 1920 et 1930. Parallèlement, la théorie de l'intégration, la théorie des groupes de Lie puis celle des groupes localement compacts se développent, adoptant toutes un langage axiomatique rigoureux appuyé sur la théorie des ensembles, chacune de ces nouvelles théories utilisant les progrès accomplis par les théories nées avant elle. On voit donc que les principaux thèmes que développe Bourbaki avaient été élaborés hors de France, dans un langage déjà voisin du sien, et à peu près dans le même ordre, bien avant la publication du premier livre des Éléments de mathématique.

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Pour citer l’article

André MARTINEAU, « BOURBAKI NICOLAS (XXe s.) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/bourbaki-nicolas/