RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

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Surfaces de Riemann

La thèse de Riemann (dissertation inaugurale), soutenue à Göttingen en décembre 1851 et intitulée Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d'une variable complexe, contient à elle seule plusieurs des découvertes auxquelles son nom est resté attaché. Au chapitre V, il explique en deux pages comment l'on peut faire décrire à la variable complexe z, au lieu du plan, une surface T à portions superposées recouvrant ce plan, il définit ce qu'il appelle déjà point de ramification d'ordre − 1 de T et il montre ce que l'on gagne en généralité à considérer des fonctions holomorphes sur T. Ces explications ont à peine vieilli : aujourd'hui, on dit que l'espace connexe T est une surface de Riemann étalée dans le plan achevé (obtenu par adjonction d'un point ∞), s'il existe une application ϕ continue de T dans , dont la restriction à un voisinage ouvert de chaque point ordinaire de T est un homéomorphisme, tandis qu'à un point de ramification a, d'ordre − 1, correspond un homéomorphisme ψ d'un voisinage ouvert de a sur un voisinage ouvert de l'origine, tel que pour z voisin de a on a :

si ϕ(a) ≠ ∞, et :
si ϕ(a) = ∞. Le vocabulaire seul a changé.

Depuis 1850, les surfaces de Riemann n'ont cessé d'intéresser les mathématiciens : pour leur géométrie, pour leur classification selon que certaines fonctions existent ou non sur la surface, pour définir les fonctions algébriques, étudier les fonctions automorphes, etc., et aussi pour donner à la théorie axiomatique du potentiel un domaine concret révélant l'indépendance des axiomes.

Au chapitre vi de sa thèse, Riemann définit et étudie l'ordre de connexion d'une surface, notion nouvelle même pour un ouvert du plan : un ouvert connexe du plan a l'ordre de connexion n si l'on peut en retirer, sans qu'il cesse d'être connexe, au plus − 1 coupures allant de sa frontière à sa frontière. Pour étendre cette notion à une surface de Riemann, il suffit d'en définir la frontière, et d'admettre aussi les coupures fermées, c'est-à-dire partant d'un point de l [...]

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Pour citer l’article

Michel HERVÉ, « RIEMANN BERNHARD - (1826-1866) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/bernhard-riemann/