AXIOME

ARISTOTE

  • Écrit par 
  • Pierre AUBENQUE
  •  • 23 833 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Limites de l'idéal déductif »  : […] La notion de causalité appliquée au syllogisme reste cependant ambiguë. Elle pourrait signifier, puisque le moyen terme est un concept, ou, comme dit Aristote, exprime une essence ( Mét. , M, 4, 1078 b 4), que le syllogisme manifeste le déploiement immanent d'une essence, qui médiatise dans l'unité synthétique de la conclusion deux moments d'abord disjoints : ainsi serait-ce l'humanité qui fait S […] Lire la suite

AXIOMATIQUE

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 2 042 mots

La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique mathématique pour les problèmes posés par l'étude des systèmes d'axiomes. L'axiomatique commence par un inventaire […] Lire la suite

CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 434 mots

Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix e  siècle et surtout le début du xx e , on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle d […] Lire la suite

DÉMONSTRATION (notions de base)

  • Écrit par 
  • Philippe GRANAROLO
  •  • 3 087 mots

Dans le chapitre « La question des prémisses »  : […] Cependant, pour que la communication soit « quasi parfaite », une condition est nécessaire : il faut que les interlocuteurs s’accordent sur les points de départ de leurs démonstrations. Démontrer, en géométrie comme en logique, c’est en effet prouver qu’une conclusion découle nécessairement d’un ensemble de prémisses que l’on a préalablement admis pour vrai. La vérité de la conclusion dépend donc […] Lire la suite

FORMALISME

  • Écrit par 
  • Étienne BALIBAR, 
  • Pierre MACHEREY
  •  • 5 002 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La démonstration formalisée »  : […] 3. On définit un sous-ensemble de formules qu'on appelle les axiomes du système. Le plus souvent, on peut décider effectivement si une formule donnée est un axiome, et on parle alors de théorie axiomatique. Intuitivement, les axiomes représentent des propositions qui sont considérées comme vraies sans démonstration, mais cette référence est en toute rigueur inutile. 4. On définit une liste finie […] Lire la suite

GÉOMÉTRIE

  • Écrit par 
  • François RUSSO
  •  • 10 634 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « La synthèse euclidienne »  : […] On rencontre déjà en Égypte ancienne, à côté d'une pratique géométrique, un début de science géométrique, comprenant notamment diverses propositions sur les propriétés du triangle et du cercle. Plus tard, en Grèce, principalement avec Thalès au vi e  siècle avant J.-C., Pythagore et Hippocrate de Khios au v e  siècle, Eudoxe au iv e  siècle, un nombre appréciable de résultats géométriques sont ob […] Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Problème 2 : consistance de l'arithmétique »  : […] Fonder une science, selon Hilbert, c'est déterminer « un système d'axiomes contenant une description exacte et complète des rapports que soutiennent les idées élémentaires de cette science ». Les axiomes constituent, en même temps, une définition de ces idées élémentaires, et les seules assertions relevant de cette science qui soient réputées valides sont celles qui se déduisent des axiomes en un […] Lire la suite

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 438 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La théorie des types »  : […] La première, la plus ambitieuse, fut celle de Russell et de Whitehead dans les Principia Mathematica (cf. russel , logique mathématique ). Elle consiste, pour l'essentiel, à reprendre le projet « logisciste » de Frege, en utilisant un formalisme plus maniable (inspiré de Giuseppe Peano) et en formulant les précautions propres à éviter la rencontre des entités suspectes, telles que « la classe de t […] Lire la suite

OBJET MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 074 mots

Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, ensembles d'ensembles, etc. Les objets mathématiques n'appartenant pas au monde sensible, leur nat […] Lire la suite

RELATION

  • Écrit par 
  • Jean LADRIÈRE
  •  • 7 662 mots

Dans le chapitre « Les relations selon Bertrand Russell »  : […] C'est surtout dans l'œuvre de Bertrand Russell (1872-1970) que la théorie moderne des relations prend tout son essor. On peut discerner deux étapes dans l'élaboration de la doctrine russellienne des relations : celle des Principles of Mathematics (1903) et celle des Principia Mathematica (publiés par Russell, en collaboration avec Alfred North Whitehead, en 3 volumes, de 1910 à 1913). Dans les […] Lire la suite

RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)

  • Écrit par 
  • Philippe DEVAUX
  •  • 6 112 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Implication formelle »  : […] Toute implication entre fonctions de propositions est formelle. Une fonction est dite propositionnelle quand son expression est constituée d'une fonction ϕ relativement constante et d'une ou de plusieurs variables individuelles ( x , y , z... ). Elle peut s'analyser et engendrer des propositions élémentaires assignant des valeurs déterminées aux variables x , y , z. Dans ce cas, ϕ x est comme un […] Lire la suite

STRUCTURALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Paul DELAHAYE
  •  • 1 692 mots

Dans le chapitre « Structuralisme méthodologique de Bourbaki »  : […] L'idée que les mathématiques ne sont ni la science des nombres, ni celles des figures, ni celle des ensembles, mais celle des structures, provient de la pratique de l'axiomatisation (progressivement acceptée par tous les mathématiciens), et plus spécifiquement de l'école algébrique de Van den Waerden, mais c'est chez Bourbaki seulement qu'elle prend une forme précise, consciente et systématique, […] Lire la suite