AXIOMATIQUE
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Axiomatisation des phénomènes physiques
On remarquera qu'il y a un lien essentiel entre axiomatisation et formalisation. Ce lien nous éclaire sur la nature profonde de la science qui d'une certaine manière tourne le dos à l'empirique pour constituer des systèmes cohérents de concepts et de relations. La coupure épistémologique entre le pur empirisme et la science passe toujours par l'invention d'un « jeu » formel.
L'utilité de la méthode axiomatique est d'abord de fournir un cadre adapté au traitement mathématique de nombreuses situations. Ainsi, lorsque A. Kolmogorov a formalisé, en 1933, les fondements du calcul des probabilités, il a permis à cette science de se dégager des notions vagues et subjectives de hasard et de chance ; l'étude des probabilités, restée longtemps stagnante, a pris ainsi un nouvel essor, devenant une partie très vivante des mathématiques.
Le champ d'application de la méthode axiomatique ne se limite pas, on vient de le voir, aux mathématiques pures. De manière générale, l'axiomatisation d'une théorie physique comporte deux étapes. D'une part, on élabore une théorie mathématique portant sur des symboles abstraits, et, d'autre part, divers « axiomes de correspondance » précisent comment les phénomènes observables se traduisent au moyen de signes. Dans l'exemple, très simple, de l'optique géométrique, la théorie mathématique utilisée est la géométrie élémentaire ; des axiomes de correspondance indiquent dans quels cas certains phénomènes lumineux doivent être symbolisés par des rayons (c'est-à-dire des droites orientées), des miroirs par des surfaces, etc. ; de plus, on décrit les constructions géométriques qui symbolisent, par exemple, les phénomènes de réflexion ou de réfraction. Dans la théorie cinétique des gaz, la théorie mathématique utilisée est relative au comportement statistique d'un grand nombre de « molécules » ; les axiomes de correspondance indiquent qu [...]
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Écrit par :
- Georges GLAESER : professeur à la faculté des sciences de Strasbourg
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Dans le chapitre « Sciences formelles, sciences empiriques » : […] Le développement simultané, et parfois conjoint, d'une mathématique et d'une physique semble poser plus que jamais la question de leurs statuts respectifs et de leurs rapports instrumentaux. Les néo-positivistes du Cercle de Vienne, qui se sont explicitement posé le problème dans les années trente, l'ont généralement résolu d'une façon radicale en ramenant les sciences formelles aux règles – larg […] Lire la suite
ERREUR
Dans le chapitre « L'erreur en mathématiques » : […] L' idée de présenter les théories d'une manière axiomatique date des Grecs, et les Éléments d'Euclide ont constitué à cet égard un modèle pendant plus de deux millénaires. En fait, on s'est aperçu, au cours des siècles, que les figures jouaient un rôle équivoque dans certaines démonstrations, et on s'est efforcé de dissocier les représentations empiriques attachées aux notions de « point », de « […] Lire la suite
EUCLIDE (IVe-IIIe s. av. J.-C.)
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HILBERT DAVID (1862-1943)
Dans le chapitre « Problème 1 : hypothèse du continu » : […] Cantor ayant démontré que le cardinal de l'ensemble des réels R excède celui de l'ensemble des entiers N , la question se pose de savoir si entre ℵ 0 (cardinal de N ) et 2 ℵ 0 (cardinal de R , dont on voit facilement qu'il égale celui de l'ensemble des parties de N ) il existe un cardinal intermédiaire. Autrement dit, est-il possible qu'un sous-ensemble infini de R ne soit équipotent ni à N n […] Lire la suite
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Pour citer l’article
Georges GLAESER, « AXIOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/