AXIOMATIQUE

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Axiomatiques ouvertes

Ces deux exemples relatifs, le premier, à l'arithmétique, le second, à la géométrie élémentaire, concernent des axiomatiques fermées, qui représentent sous une forme strictement déductive des sciences édifiées depuis longtemps. Ce sont des systèmes d'axiomes, inspirés par un modèle unique (par exemple, l'espace euclidien à trois dimensions) et qui ne s'appliquent en définitive qu'à ce seul modèle.

La mathématique contemporaine s'intéresse davantage aux axiomatiques ouvertes édifiées dans un souci d'unification et de fécondité. Ainsi, le point de départ de la théorie axiomatique des espaces vectoriels est l'analogie que l'on constate entre divers énoncés tels que : « La projection de la résultante de deux forces est la résultante de leurs projections », ou « La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions ». Pour pouvoir traiter les forces, les fonctions, les vitesses, etc., de la même manière et les englober dans une théorie unificatrice, G. Peano a formulé en 1888 les axiomes des espaces vectoriels. Il apparut alors que ces axiomes s'appliquaient à bien d'autres situations et ce fait a mis en évidence de nouvelles analogies, plus cachées, entre des théories d'apparences très différentes. En outre, l'algèbre linéaire est un algorithme qui invite à engendrer de nouveaux objets mathématiques à propos desquels on peut se poser de nouveaux problèmes. De plus, l'élargissement du champ d'application de la théorie a provoqué un élargissement de l'axiomatique, suscitant par exemple le passage des espaces vectoriels (sur un corps) aux modules (définis sur un anneau). Cela montre la fécondité d'une axiomatique ouverte.

Un exemple encore plus spectaculaire d'axiomatique ouverte est constitué par l'algèbre homologique, axiomatisée grâce aux efforts de J. Leray, H. Cartan, S. Eilenberg et d'autres, entre 1940 et 1950. Destinée primitivement à rendre compte de l'aspect algébrique de la topologie combinatoire (dont les bases avaient été jetées p [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 4 pages





Écrit par :

Classification


Autres références

«  AXIOMATIQUE  » est également traité dans :

BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU
  •  • 1 734 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Construction logique et ensembliste »  : […] Nicolas Bourbaki prend comme point de départ pour sa construction la logique formelle et la théorie des ensembles dont le langage est familier à tout jeune lycéen. Il introduit la notion de structure qui est le cœur de sa rigoureuse construction axiomatique. Les structures sont classées par degré de complexité. Et, de même que la chimie distingue les éléments simples à partir desquels tout peut […] Lire la suite

CONTINU & DISCRET

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 7 679 mots

Dans le chapitre « Continu et théorie des fondements »  : […] Du double aspect du mystère du continu et du discret, la logique et la théorie des ensembles, en première approche, ne retiennent que celui qui est lié au problème de l'infini en général : le problème du continu y est envisagé comme problème du « nombre transfini » associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au s […] Lire la suite

DÉFINITION

  • Écrit par 
  • Françoise ARMENGAUD
  •  • 505 mots

Traditionnellement, définir, c'est expliciter, lorsqu'il s'agit d'un mot, et, lorsqu'il s'agit d'un être, c'est lui assigner un statut ; on définit par genre prochain et différence spécifique : « La rose est une fleur d'églantier dont les étamines sont devenues pétales. » Cela présuppose : sur le plan ontologique , le primat métaphysique de la substance première, indépendante de ses attributs, et […] Lire la suite

ÉPISTÉMOLOGIE

  • Écrit par 
  • Gilles Gaston GRANGER
  •  • 13 082 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « Sciences formelles, sciences empiriques »  : […] Le développement simultané, et parfois conjoint, d'une mathématique et d'une physique semble poser plus que jamais la question de leurs statuts respectifs et de leurs rapports instrumentaux. Les néo-positivistes du Cercle de Vienne, qui se sont explicitement posé le problème dans les années trente, l'ont généralement résolu d'une façon radicale en ramenant les sciences formelles aux règles – larg […] Lire la suite

ERREUR

  • Écrit par 
  • Bertrand SAINT-SERNIN
  •  • 4 867 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « L'erreur en mathématiques »  : […] L' idée de présenter les théories d'une manière axiomatique date des Grecs, et les Éléments d'Euclide ont constitué à cet égard un modèle pendant plus de deux millénaires. En fait, on s'est aperçu, au cours des siècles, que les figures jouaient un rôle équivoque dans certaines démonstrations, et on s'est efforcé de dissocier les représentations empiriques attachées aux notions de « point », de « […] Lire la suite

EUCLIDE (IVe-IIIe s. av. J.-C.)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  •  • 1 527 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'œuvre euclidienne »  : […] Il reste de l'œuvre euclidienne les treize livres des Éléments , les Données , les Phénomènes , la Division du canon , et l'Optique . Sont encore accessibles une Catoptrique , une Introduction harmonique et un fragment Du léger et du lourd , mais ces trois derniers ouvrages sont considérés comme apocryphes. On connaît une version arabe de la Division des figures et Pappus signale trois livres sur […] Lire la suite

FORMALISME

  • Écrit par 
  • Étienne BALIBAR, 
  • Pierre MACHEREY
  •  • 5 002 mots
  •  • 1 média

Au sens moderne la formalisation est la présentation des théories scientifiques – et, en premier lieu sinon exclusivement, des mathématiques – dans le cadre d'un système formel , permettant de caractériser sans ambiguïté les expressions du langage et les règles de démonstration recevables. On aurait tort de considérer pour autant que l'importance scientifique de la formalisation se réduise à une q […] Lire la suite

GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 173 mots

Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématique axiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En particulier, il est impossible de prouver que les axiomes fondant ce système sont cohérents. Ce travail achève une longue qu […] Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Problème 1 : hypothèse du continu »  : […] Cantor ayant démontré que le cardinal de l'ensemble des réels R excède celui de l'ensemble des entiers N , la question se pose de savoir si entre ℵ 0 (cardinal de N ) et 2 ℵ 0 (cardinal de R , dont on voit facilement qu'il égale celui de l'ensemble des parties de N ) il existe un cardinal intermédiaire. Autrement dit, est-il possible qu'un sous-ensemble infini de R ne soit équipotent ni à N n […] Lire la suite

JUGEMENT

  • Écrit par 
  • Noël MOULOUD
  •  • 6 858 mots

Dans le chapitre « La philosophie des propositions »  : […] La réflexion moderne sur les formes propositionnelles et leur statut, issue des analyses des logiciens, se maintient sur les plans techniques et se dispense des hypothèses sur le lien du jugement avec la subjectivité ou la conscience. Cependant, les points de vue techniques appellent leur problématique propre. Lorsque la fonction relationnelle de la proposition s'est substituée, comme on l'a dit, […] Lire la suite

MÉTHODE

  • Écrit par 
  • Jean LARGEAULT
  •  • 9 011 mots

Dans le chapitre « Différentes méthodes pour différentes sciences ? »  : […] Peut-on classer les sciences d'après leurs méthodes ? Ou bien d'après leur manière d'utiliser leurs méthodes ? La méthode représente-t-elle la même chose pour toutes les sciences ? Généralement, « méthode » a un sens vague, et la méthodologie n'est pas préceptive : comment prescrirait-on aux scientifiques ce qu'ils devraient faire, quand on n'est pas d'accord sur ce qu'ils font ? On s'accorde à d […] Lire la suite

MODALITÉS, logique

  • Écrit par 
  • Pascal ENGEL
  •  • 7 599 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Les logiques modales contemporaines »  : […] Les fondateurs de la logique contemporaine, au début du xx e  siècle – Frege, Russell et leurs successeurs –, ignorèrent la logique modale parce qu'ils entendaient limiter le domaine de la logique à la logique extensionnelle. Le renouveau de la logique modale au xx e  siècle vint de l'application à l'étude des notions de nécessité et de possibilité des méthodes axiomatiques de la nouvelle logique […] Lire la suite

PEANO GIUSEPPE (1858-1932)

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 1 832 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'axiomatique »  : […] La formalisation conduit naturellement Peano à exposer la mathématique sous forme axiomatique. On trouvera à l'article axiomatique la description des principales contributions de Peano dans ce domaine. Indépendamment de R. Dedekind, il formule les axiomes de Peano relatifs aux nombres entiers naturels. C'est également lui qui a énoncé pour la première fois, en 1888, les axiomes des espaces vect […] Lire la suite

PHILOSOPHIQUES SYSTÈMES

  • Écrit par 
  • Jacques MOUTAUX
  •  • 6 726 mots

Dans le chapitre « De l'histoire de la philosophie à la philosophie »  : […] L'apparition et le développement de l'histoire de la philosophie comme discipline autonome fondée sur la notion de système transforment la question des rapports entre la philosophie et son histoire. Ainsi conçue, en effet, l'histoire de la philosophie constitue une expérience objective en son ordre, autorisant par conséquent à poser la question transcendantale quid juris . Si est établi le fait d […] Lire la suite

RELATION

  • Écrit par 
  • Jean LADRIÈRE
  •  • 7 662 mots

Dans le chapitre « La méthode axiomatique »  : […] La méthode axiomatique permet d'aborder le problème de la nature de la relation par un tout autre biais. Elle consiste à donner une caractérisation implicite de la notion en énonçant certaines propositions dans lesquelles elle figure ; le contenu de la notion est alors déterminé par les possibilités déductives contenues dans ces propositions (c'est-à-dire qu'il est exprimé par ces propositions et […] Lire la suite

SCIENCES - Sciences et discours rationnel

  • Écrit par 
  • Jean LADRIÈRE
  •  • 6 601 mots

Dans le chapitre « Les divers types de science et leurs modes de validation : le type formel pur »  : […] Il n'est guère possible de parler de « la » science en toute généralité, sauf à en rester à un discours extrêmement formel, car le domaine de la connaissance scientifique se fragmente en sous-domaines dont chacun a sa spécificité et ses présuppositions propres. En première approximation, on pourra distinguer trois grands types de science : le type formel pur, le type empirico-formel et le type her […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Georges GLAESER, « AXIOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 août 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/