AXIOMATIQUE

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Origines de l'axiomatique mathématique

L'axiomatique considérée comme mode idéal de rédaction d'un traité scientifique est une conception de la mathématique grecque : les Éléments d'Euclide constituent, à cette époque (iiie s. av. J.-C.), la tentative la plus audacieuse de réaliser cet idéal. L'exécution de ce vaste programme laisse cependant bien à désirer.

Ainsi, dès la première démonstration des Éléments, Euclide, traçant deux circonférences de rayon AB et de centres respectifs A et B, parle de leurs points d'intersection ; il affirme ainsi implicitement que ces deux circonférences se coupent, ce qui ne résulte nullement des axiomes énoncés initialement.

Il n'en est que plus remarquable qu'Euclide ait vu clairement l'importance du postulat, qui porte son nom, sur l'unicité de la parallèle ; dans ce cas, il adopte une attitude réellement axiomatique, en se gardant soigneusement d'invoquer l'expérience sensible.

L'œuvre d'Euclide a profondément influencé ses continuateurs. Archimède, par exemple, s'astreint à présenter les lois de l'équilibre du levier sous forme axiomatique ; dans le domaine des mathématiques, il dégage l'importance de l'axiome, dit d'Archimède, qui est à la base de la théorie de la mesure des longueurs : « Si deux segments sont donnés, il y a toujours un multiple du plus petit qui dépasse le plus grand. » En fait, cet axiome était déjà implicitement contenu dans la quatrième définition du cinquième livre des Éléments d'Euclide.

Malgré ces préoccupations des mathématiciens grecs, il faut attendre la fin du xixe siècle pour que l'étude et l'édification des géométries non euclidiennes dégage le caractère abstrait, et dans une certaine mesure arbitraire, de l'axiomatique et montre la relativité de la notion de vérité en mathématiques.

On doit à G. Peano (1858-1932) et à R. Dedekind (1831-1916) un exposé axiomatique de la théorie des nombres entiers ; désirant caractériser axiomatiquement l'ensemble N* des no[...]

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Pour citer l’article

Georges GLAESER, « AXIOMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 novembre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/