FROBENIUS AUTOMORPHISME DE

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY
  • , Universalis
  •  • 6 417 mots

Dans le chapitre « Corps finis »  : […] Une application intéressante de la théorie de Galois est l'étude et la classification des corps finis. Soit donc F un groupe fini possédant q  =  p n éléments (cf. chap. 1). Le groupe multiplicatif des éléments non nuls de F est d'ordre q  − 1, donc tout élément de ce groupe vérifie x q-1  − 1 = 0 et, par suite, tout élément de F vérifie : Comme il est clair que les racines de P n (X) dans une c […] Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 064 mots

Dans le chapitre « Corps de classes »  : […] La difficile théorie du corps de classes tire son origine de plusieurs résultats établis au cours du xix e  siècle. Nous avons vu que Gauss avait associé, à tout nombre premier impair p , une somme : corps des racines p -ièmes de 1, dont le carré est (− 1) ( p −1)/2 p  ; le sous-corps de Q ( r ) engendré par la somme de Gauss est donc isomorphe au corps quadratique Q ( (− 1) ( p− 1)/2 p ). Kronec […] Lire la suite

ZÊTA FONCTION

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 3 100 mots

Dans le chapitre « Fonctions zêta et fonctions L sur une variété algébrique définie sur un corps fini »  : […] Depuis les travaux de E.  Artin, on sait que tous les résultats de la théorie des nombres algébriques se transportent (avec des expressions plus simples, dues à l'absence des « places infinies ») aux « corps de fonctions algébriques d'une variable sur un corps fini F q  », c'est-à-dire les extensions algébriques finies du corps des fractions rationnelles F q (X). E. Artin lui-même avait noté, sur […] Lire la suite