DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS

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Z-modules et réseaux

Un Z-module de Rn est un ensemble M de points M de Rn, de coordonnées (x1, x2, ..., xn), qui est sous-groupe additif de Rn (donc, s'il contient M′ et M″, il contient M′ + v M″ pour tout u et v de Z). On appelle base de M un ensemble A1, A2, ..., Ar d'éléments de M, tel que tout élément de M s'écrit, d'une manière unique, sous la forme a1A1 + a2A2 + ... + arAr, où a∈ Z. On remarquera qu'on peut avoir n (par exemple dans R avec les nombres de la forme a + 2, où a et b sont entiers, on a r = 2 pour n = 1).

Lorsque chaque point de M est isolé dans Rn, c'est-à-dire est centre d'une boule ne contenant pas d'autre point de M, le Z-module est dit discret ; cette propriété est évidemment caractérisée par le fait qu'il existe une boule de Rn, de centre O, qui ne contient que O comme point de M. On appelle réseau tout Z-module discret et on démontre qu'un réseau de Rn ne peut avoir de base comprenant plus de n éléments. Plus précisément, si un réseau admet une base de r éléments, l'espace vectoriel qu'il engendre est de dimension r.

Pour n = 1, tout réseau est donné par x = mx0∈ Z et x0 = inf |x| pour ∈ M − { O } ; en effet, M étant discret, x0 existe bien, est non nul et appartient à M, et tout x de M en est multiple, sans quoi le reste du quotient de |x| par x0 contredirait l'hypothèse faite sur x0. Pour n quelconque, la démonstration de ≤ n se fait par récurrence en projetant sur Rn-1 parallèlement à l'un des vecteurs OAi.

On supposera, sans rien restreindre dans ce qui suit, que les réseaux envisagés correspondent à r = n. Un exemple fondamental est celui des points à coordonnées entières de Rn, auquel on peut toujours se ramener dès qu'on a une base A1, A2, ..., An du réseau : c'est Zn.

Il est important de pouvoir caractériser les bases de Zn ; on démontre qu'une condition nécessaire et suffisante pour que n points A1, A2, ..., An de Zn forment une base de ce réseau est que le déterminant de leurs coordonnées soit égal à ± 1. Dans le cas de n = 2, si (p1q1) et (p2q2) sont les coordonnées de A1 et A2, on doit donc avoir, pour une b [...]


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Pour citer l’article

Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/approximations-diophantiennes/