APPROXIMATION
ATOMIQUE PHYSIQUE
Dans le chapitre « La structure dite « grossière ». Le tableau périodique » : […] Le premier problème auquel ont été confrontés les physiciens atomistes a été de chercher à résoudre l'équation de Schrödinger pour un système formé de N électrons soumis à la force coulombienne attractive du noyau et à la force coulombienne répulsive qui s'exerce entre chaque paire d'électrons. Il n'existe pas de solution exacte à un aussi formidable problème, et toute l'intelligence des physici […] […] Lire la suite
AUTOMATIQUE
Dans le chapitre « Modèles linéaires » : […] Soit Σ le système défini par (2), et supposons-le stationnaire. Un point w * = [ w 1 * ... w k * ] est un point d'équilibre de Σ si F ( w * , 0, ..., 0) = 0. Dans le cas du pendule inversé régi par (1), cette égalité entraîne f * = sin θ * = 0. Ce système admet donc une infinité de points d'équilibre : y * quelconque, θ * = 0 (modulo π) et f * = 0. Bien entendu, le pendule est en « […] […] Lire la suite
AUTOMATISATION
Dans le chapitre « Réseaux de neurones » : […] Alors que l'automatique linéaire traite efficacement des processus dynamiques linéaires que l'on peut décrire notamment par des équations différentielles, alors que la logique floue est dédiée aux processus que l'on ne sait décrire que par une expertise linguistique imprécise, les réseaux de neurones ont pour objectif la modélisation et la commande de processus dynamiques non linéaires. En pratiqu […] […] Lire la suite
CINÉTIQUE DES FLUIDES THÉORIE
Dans le chapitre « Équations de transport » : […] Pour étudier un fluide en régime moléculaire, on a besoin en général du formalisme de la théorie cinétique. Par contre, en régime de fluide quasi continu, on peut essayer d'éviter ce formalisme qui est souvent trop lourd. Pour décrire l'évolution du fluide on doit alors utiliser des équations macroscopiques qui contiennent les grandeurs n , v , Ψ=, Q ... Ces équations hydrodynamiques sont souvent […] […] Lire la suite
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
Dans le chapitre « Consistance » : […] Dans de nombreux exemples, le processus d' approximation ( u n ) d'une application u de E dans F se présente sous la forme suivante : on se donne une suite (E n ) de sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel normé E de fonctions telle que soit dense dans E. On dit alors que le processus ( u n ) est consistant si, pour tout élément ϕ ∈ E n , u n (ϕ) = u (ϕ), c'est-à-dire […] […] Lire la suite
FORME
Dans le chapitre « Phénomènes critiques » : […] Lorsqu'on passe de l'optique à la physique des substrats matériels, ces quatre types de considérations peuvent être considérablement généralisés et confirmés. Ils constituent une part essentielle de la physique actuelle. Considérons par exemple un phénomène critique comme un phénomène de transition de phase. C'est un cas élémentaire d'auto-organisation de la matière puisque, à la traversée d'une v […] […] Lire la suite
ISLAM (La civilisation islamique) Les mathématiques et les autres sciences
Dans le chapitre « L'analyse numérique » : […] Comparées aux mathématiques hellénistiques, les mathématiques arabes offrent un nombre bien plus important d' algorithmes numériques. L'algèbre, en effet, n'a pas seulement fourni les moyens théoriques indispensables à ce développement – ne fût-ce que l'étude des expressions polynomiales et les règles combinatoires – mais aussi un vaste domaine d'application de ces techniques : les méthodes dével […] […] Lire la suite
KHOT SUBHASH (1978- )
Le mathématicien indien Subhash Khot est un théoricien de l’informatique, spécialiste des problèmes d’optimisation dans ce qu’il est convenu d’appeler la théorie de la complexité. Né le 10 juin 1978 à Ichalkaranji, ville moyenne de l’État du Maharashtra dans l’ouest de l’Inde, Khot est le fils de deux médecins. Classé premier au concours d’entrée de l’Institut indien de technologie (I.T.T.) de Bo […] […] Lire la suite
MÉCANIQUE CÉLESTE
Dans le chapitre « Les équations aux perturbations » : […] Dans le système solaire, la distribution des masses, des positions et des vitesses est particulière et permet de résoudre le problème des n corps par des méthodes d' approximation. La masse du Soleil est beaucoup plus grande que celles des planètes, puisque la plus massive d'entre elles, Jupiter, a une masse mille fois plus faible. Il en résulte que la seule force notable qui agit sur une planèt […] […] Lire la suite
MÉTÉOROLOGIE
Dans le chapitre « Des solutions numériques approchées » : […] Une autre difficulté tient au fait que les équations décrivant le comportement de l’atmosphère n’ont pas de solutions exactes, directement calculables. On est obligé de passer par des méthodes numériques lourdes mathématiquement qui fournissent seulement des solutions approchées. Dans les modèles, l’atmosphère est généralement représentée par ses principaux paramètres (pression, vent, température […] […] Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Dans le chapitre « Les propriétés d'approximation » : […] On supposera désormais que K = R . Une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est dite de rang fini si son image est un sous-espace de dimension finie de F. X et Y étant deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de rang fini de X dans Y, il est clair, d'après le théorème de Riesz (cf. chap. 1), que l'adhérence dans Y de l'image par f de la bo […] […] Lire la suite
NUCLÉAIRE (PHYSIQUE) Noyau atomique
Dans le chapitre « Modèles en couches » : […] Effectivement, le modèle en couches est un modèle de structure nucléaire comparable à bien des égards au modèle planétaire atomique. Il constitue la pierre angulaire de la physique nucléaire en ce sens que son ambition est de rendre compte de la structure des noyaux en termes microscopiques, c'est-à-dire à l'aide des propriétés individuelles de ses constituants. Sa démarche, pour contourner le pr […] […] Lire la suite
NUMÉRIQUE ANALYSE
Dans le chapitre « Le concept d'approximation » : […] Dans toutes les questions de représentation des nombres et des fonctions, il faut distinguer la recherche de solutions « exactes » de celle d'algorithmes d'« approximation » d'une solution. Mais on notera que le champ du concept d'approximation recouvre non seulement les problèmes issus de l'analyse mais aussi certaines questions purement algébriques. Ainsi, en algèbre linéaire, les méthodes itéra […] […] Lire la suite
ONDES GRAVITATIONNELLES
Dans le chapitre « Équations d’Einstein et solutions » : […] Les équations d’Einstein sont des équations aux dérivées partielles qui relient le tenseur énergie-impulsion T µν d’un système à une quantité, appelée « tenseur de Ricci », qui caractérise la géométrie de l’espace-temps qui l’environne en décrivant mathématiquement la façon dont cet espace-temps est courbe. Rappelons qu’un tenseur est un objet mathématique qui généralise la notion de vecteur ; d […] […] Lire la suite
RELATIVITÉ Relativité générale
Dans le chapitre « Approximations postnewtoniennes et confirmations expérimentales » : […] La très grande précision de certaines mesures de distances et de durées actuellement réalisées dans le système solaire nécessite de tenir compte très soigneusement des modifications que la relativité générale apporte à la description newtonienne de l'espace-temps. Par conséquent, la relativité générale est utilisée dans un grand nombre de situations, depuis la recherche astronomique ou géophysique […] […] Lire la suite
RÉSEAUX DE NEURONES
Dans le chapitre « L'approximation parcimonieuse, une propriété fondamentale des réseaux de neurones » : […] Les réseaux de neurones non bouclés, tels que nous les avons définis plus haut, possèdent une propriété remarquable qui est à l'origine de leur intérêt pratique : ce sont des « approximateurs universels parcimonieux ». Qu'est-ce que cela signifie ? Un réseau de neurones est capable d'imiter n'importe quel processus, après ajustement de ses paramètres par apprentissage ; la propriété d'« approximat […] […] Lire la suite
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Dans le chapitre « Méthodes générales de calcul » : […] Pour revenir au cas général, résoudre un problème de résistance des matériaux, c'est trouver les champs de contrainte, de déformation et de déplacement qui vérifient simultanément les équations d'équilibre de l'élément de volume, les relations entre les déformations et le déplacement, les équations de comportement (loi de Hooke généralisée en élasticité) et les conditions aux frontières (efforts o […] […] Lire la suite
STATISTIQUE MÉCANIQUE
Dans le chapitre « Fonctions de corrélation » : […] On ne considère dans ce chapitre que des systèmes décrits par la mécanique classique. Le problème principal de la mécanique statistique hors d'équilibre est le calcul des coefficients de transport qui interviennent dans les équations de l'hydrodynamique décrivant l'écoulement d'un fluide. Ces équations relient des quantités qui sont des moyennes formées avec une densité de probabilité obéissant à […] […] Lire la suite
SYMÉTRIES, physique
Dans le chapitre « Les symétries approchées » : […] Un des ajouts essentiels du travail du physicien à celui du mathématicien est l'art des approximations. C'est déjà vrai dans la description des matériaux cristallins où la structure parfaitement périodique est une idéalisation de la situation concrète où les défauts sont si fréquents qu'ils jouent parfois un rôle essentiel dans les propriétés d'un échantillon réel. Cela n'empêche évidemment pas d […] […] Lire la suite
Comparaison des approximations fournies par les trois algorithmes de calcul de p
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Fonction de régression d'un processus à une variable
Approximation de la fonction de régression de la sortie Y
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Algorithmes de calcul de p
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tableau
Fonction de régression d'un processus à une variable
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