APPROXIMATION

ATOMIQUE PHYSIQUE

  • Écrit par 
  • Philippe BOUYER, 
  • Georges LÉVI
  •  • 6 703 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La structure dite « grossière ». Le tableau périodique »  : […] Le premier problème auquel ont été confrontés les physiciens atomistes a été de chercher à résoudre l'équation de Schrödinger pour un système formé de N électrons soumis à la force coulombienne attractive du noyau et à la force coulombienne répulsive qui s'exerce entre chaque paire d'électrons. Il n'existe pas de solution exacte à un aussi formidable problème, et toute l'in […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-atomique/#i_91199

AUTOMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hisham ABOU-KANDIL, 
  • Henri BOURLÈS
  •  • 12 271 mots

Dans le chapitre « Modèles linéaires »  : […] Soit Σ le système défini par (2), et supposons-le stationnaire. Un point w *  = [ w 1 *  ...  w k * ] est un point d'équilibre de Σ si F ( w * , 0, ..., 0) = 0. Dans […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/automatique/#i_91199

AUTOMATISATION

  • Écrit par 
  • Jean VAN DEN BROEK D'OBRENAN
  •  • 11 880 mots
  •  • 12 médias

Dans le chapitre « Réseaux de neurones »  : […] Alors que l'automatique linéaire traite efficacement des processus dynamiques linéaires que l'on peut décrire notamment par des équations différentielles, alors que la logique floue est dédiée aux processus que l'on ne sait décrire que par une expertise linguistique imprécise, les réseaux de neurones ont pour objectif la modélisation et la commande de processus dynamiques non linéaires. En pratiqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/automatisation/#i_91199

CINÉTIQUE DES FLUIDES THÉORIE

  • Écrit par 
  • Jean-Loup DELCROIX
  •  • 10 017 mots
  •  • 15 médias

Dans le chapitre « Équations de transport »  : […] Pour étudier un fluide en régime moléculaire, on a besoin en général du formalisme de la théorie cinétique. Par contre, en régime de fluide quasi continu, on peut essayer d'éviter ce formalisme qui est souvent trop lourd. Pour décrire l'évolution du fluide on doit alors utiliser des équations macroscopiques qui contiennent les grandeurs n , v , Ψ=, Q ... Ces équations hydrody […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-cinetique-des-fluides/#i_91199

FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 19 537 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Consistance »  : […] Dans de nombreux exemples, le processus d' approximation ( u n ) d'une application u de E dans F se présente sous la forme suivante : on se donne une suite (E n ) de sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel normé E de fonctions telle que soit dense dans E. On dit alors que le processus […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/#i_91199

FORME

  • Écrit par 
  • Jean PETITOT
  •  • 27 547 mots

Dans le chapitre « Phénomènes critiques »  : […] Lorsqu'on passe de l'optique à la physique des substrats matériels, ces quatre types de considérations peuvent être considérablement généralisés et confirmés. Ils constituent une part essentielle de la physique actuelle. Considérons par exemple un phénomène critique comme un phénomène de transition de phase. C'est un cas élémentaire d'auto-organisation de la matière puisque, à la traversée d'une v […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/forme/#i_91199

ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

  • Écrit par 
  • Georges C. ANAWATI, 
  • Roshdi RASHED
  • , Universalis
  •  • 22 470 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'analyse numérique »  : […] Comparées aux mathématiques hellénistiques, les mathématiques arabes offrent un nombre bien plus important d' algorithmes numériques. L'algèbre, en effet, n'a pas seulement fourni les moyens théoriques indispensables à ce développement – ne fût-ce que l'étude des expressions polynomiales et les règles combinatoires – mais aussi un vaste domaine d'application de ces techniques : les méthodes dével […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/islam-la-civilisation-islamique-les-mathematiques-et-les-autres-sciences/#i_91199

KHOT SUBHASH (1978- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 649 mots

Le mathématicien indien Subhash Khot est un théoricien de l’informatique, spécialiste des problèmes d’optimisation dans ce qu’il est convenu d’appeler la théorie de la complexité. Né le 10 juin 1978 à Ichalkaranji, ville moyenne de l’État du Maharashtra dans l’ouest de l’Inde, Khot est le fils de deux médecins. Classé premier au concours d’entrée de l’Institut indien de technologie (I.T.T.) de Bo […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/subhash-khot/#i_91199

MÉCANIQUE CÉLESTE

  • Écrit par 
  • Bruno MORANDO
  •  • 6 163 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « Les équations aux perturbations »  : […] Dans le système solaire, la distribution des masses, des positions et des vitesses est particulière et permet de résoudre le problème des n corps par des méthodes d' approximation. La masse du Soleil est beaucoup plus grande que celles des planètes, puisque la plus massive d'entre elles, Jupiter, a une masse mille fois plus faible. Il en résulte que la seule force notable q […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-celeste/#i_91199

MÉTÉOROLOGIE

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre CHALON
  •  • 4 309 mots
  •  • 5 médias

Dans le chapitre « Des solutions numériques approchées »  : […] Une autre difficulté tient au fait que les équations décrivant le comportement de l’atmosphère n’ont pas de solutions exactes, directement calculables. On est obligé de passer par des méthodes numériques lourdes mathématiquement qui fournissent seulement des solutions approchées. Dans les modèles, l’atmosphère est généralement représentée par ses principaux paramètres (pression, vent, température […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/meteorologie/#i_91199

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 094 mots

Dans le chapitre « Les propriétés d'approximation »  : […] On supposera désormais que K =  R . Une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est dite de rang fini si son image est un sous-espace de dimension finie de F. X et Y étant deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de rang fini de X dans Y, il est clair, d'après le théorème de Riesz (cf. chap. 1), que l'adhérence dans Y de l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/#i_91199

NUCLÉAIRE (PHYSIQUE) - Noyau atomique

  • Écrit par 
  • Luc VALENTIN
  •  • 10 308 mots
  •  • 17 médias

Dans le chapitre «  Modèles en couches »  : […] Effectivement, le modèle en couches est un modèle de structure nucléaire comparable à bien des égards au modèle planétaire atomique. Il constitue la pierre angulaire de la physique nucléaire en ce sens que son ambition est de rendre compte de la structure des noyaux en termes microscopiques, c'est-à-dire à l'aide des propriétés individuelles de ses constituants. Sa démarche, pour contourner le pr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nucleaire-physique-noyau-atomique/#i_91199

NUMÉRIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 645 mots

Dans le chapitre « Le concept d'approximation »  : […] Dans toutes les questions de représentation des nombres et des fonctions, il faut distinguer la recherche de solutions « exactes » de celle d'algorithmes d'« approximation » d'une solution. Mais on notera que le champ du concept d'approximation recouvre non seulement les problèmes issus de l'analyse mais aussi certaines questions purement algébriques. Ainsi, en algèbre linéaire, les méthodes itéra […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/#i_91199

ONDES GRAVITATIONNELLES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 6 832 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Équations d’Einstein et solutions »  : […] Les équations d’Einstein sont des équations aux dérivées partielles qui relient le tenseur énergie-impulsion T µν d’un système à une quantité, appelée « tenseur de Ricci », qui caractérise la géométrie de l’espace-temps qui l’environne en décrivant mathématiquement la façon dont cet espace-temps est courbe. Rappelons qu’un tenseur est un objet mathématique qui généralise la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ondes-gravitationnelles/#i_91199

RELATIVITÉ - Relativité générale

  • Écrit par 
  • Thibault DAMOUR, 
  • Stanley DESER
  •  • 12 096 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Approximations postnewtoniennes et confirmations expérimentales »  : […] La très grande précision de certaines mesures de distances et de durées actuellement réalisées dans le système solaire nécessite de tenir compte très soigneusement des modifications que la relativité générale apporte à la description newtonienne de l'espace-temps. Par conséquent, la relativité générale est utilisée dans un grand nombre de situations, depuis la recherche astronomique ou géophysique […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/relativite-relativite-generale/#i_91199

RÉSEAUX DE NEURONES

  • Écrit par 
  • Gérard DREYFUS
  •  • 5 120 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « L'approximation parcimonieuse, une propriété fondamentale des réseaux de neurones »  : […] Les réseaux de neurones non bouclés, tels que nous les avons définis plus haut, possèdent une propriété remarquable qui est à l'origine de leur intérêt pratique : ce sont des « approximateurs universels parcimonieux ». Qu'est-ce que cela signifie ? Un réseau de neurones est capable d'imiter n'importe quel processus, après ajustement de ses paramètres par apprentissage ; la propriété d'« approximat […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reseaux-de-neurones-formels/#i_91199

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

  • Écrit par 
  • Jean LEMAITRE
  •  • 6 587 mots
  •  • 17 médias

Dans le chapitre « Méthodes générales de calcul »  : […] Pour revenir au cas général, résoudre un problème de résistance des matériaux, c'est trouver les champs de contrainte, de déformation et de déplacement qui vérifient simultanément les équations d'équilibre de l'élément de volume, les relations entre les déformations et le déplacement, les équations de comportement (loi de Hooke généralisée en élasticité) et les conditions aux frontières (efforts o […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/resistance-des-materiaux/#i_91199

STATISTIQUE MÉCANIQUE

  • Écrit par 
  • Berni J. ALDER, 
  • Bernard JANCOVICI
  •  • 5 921 mots
  •  • 8 médias

Dans le chapitre « Fonctions de corrélation »  : […] On ne considère dans ce chapitre que des systèmes décrits par la mécanique classique. Le problème principal de la mécanique statistique hors d'équilibre est le calcul des coefficients de transport qui interviennent dans les équations de l'hydrodynamique décrivant l'écoulement d'un fluide. Ces équations relient des quantités qui sont des moyennes formées avec une densité de p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-statistique/#i_91199

SYMÉTRIES, physique

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 5 990 mots

Dans le chapitre «  Les symétries approchées »  : […] Un des ajouts essentiels du travail du physicien à celui du mathématicien est l'art des approximations. C'est déjà vrai dans la description des matériaux cristallins où la structure parfaitement périodique est une idéalisation de la situation concrète où les défauts sont si fréquents qu'ils jouent parfois un rôle essentiel dans les propriétés d'un échantillon réel. Cela n'empêche évidemment pas d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/symetries-physique/#i_91199


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Algorithmes de calcul de p

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Comparaison des approximations fournies par les trois algorithmes de calcul de p 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Fonction de régression d'un processus à une variable

dessin

Approximation de la fonction de régression de la sortie Yp d'un processus à une variable x, obtenue avec un réseau de neurones après apprentissage Les croix correspondent aux valeurs de Yp mesurées sur le processus à modéliser (source : NETRAL SA) 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Algorithmes de calcul de p
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Fonction de régression d'un processus à une variable
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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