ANNEAUX & ALGÈBRES

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Définitions

Anneaux

Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes( x)→ x + y et( x, y )→ xy, appelées addition et multiplication respectivement, qui possèdent les propriétés suivantes :

(c) existence d'un élément, noté 0, tel que, pour tout élément x de A on ait :
(d) existence, pour tout x de A, d'un élément, noté − x, tel que :
(g) bien que cela ne soit pas toujours ainsi dans la littérature, nous supposerons l'existence d'un élément unité pour la multiplication, souvent noté 1, tel que :

Les propriétés (a) à (d) expriment que A est un groupe commutatif pour l'addition.

Dans de nombreux exemples, la multiplication est de plus commutative, c'est-à-dire xy = yx ; un tel anneau est alors dit commutatif. Cependant on ne peut pas se limiter à ce cas, car des anneaux importants dans la pratique, les anneaux de matrices par exemple, ne possèdent pas cette propriété ; comme on le verra au début du chapitre, le calcul algébrique dans de tels anneaux réclame quelques précautions. Pour terminer, indiquons qu'un cas particulier très important est constitué par les anneaux dans lesquels tout élément non nul est inversible, c'est-à-dire a un inverse pour la multiplication ; un tel anneau s'appelle un corps.

Un sous-ensemble B non vide d'un anneau A est appelé un sous-anneau, s'il contient l'unité multiplicative et x − y et xy pour tout couple d'éléments x et y de B ; B est alors un anneau pour les restrictions à B de l'addition et de la multiplication.

Algèbres

Nous introduirons maintenant ici une autre structure qui se rencontre dans de nombreuses questions.

Soit K un corps commutatif. On dira qu'un ensemble E est une K-algèbre, ou une algèbre sur K, si c'est un espace vectoriel sur le corps K muni d'une application, noté ici multiplicativement :

qui est bilinéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à chaque facteur pris séparément :
quels que soient les éléments x, y, z de E et les « scalaires » λ et μ appartenant à K. On peut aussi définir une telle structure lorsque K n'est plus un corps, mais seulement un anneau com [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ANNEAUX & ALGÈBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-et-algebres/