ANNEAUX COMMUTATIFS

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Notions fondamentales

Divisibilité

La présence dans un anneau de diviseurs de zéro, c'est-à-dire d'éléments a et b, tous deux non nuls, dont le produit est nul, rend illusoire toute théorie satisfaisante de la divisibilité. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont appelés des anneaux intègres ou anneaux d'intégrité. Nous allons, dans ce qui suit, préciser quelques propriétés de la divisibilité dans un tel anneau d'intégrité A. Dans toutes ces questions de divisibilité, seul intervient le fait que l'ensemble A* des éléments non nuls de l'anneau A est muni d'une loi de composition interne (x, y) → xy (la multiplication) associative, commutative, avec un élément unité ; un ensemble muni d'une loi possédant ces propriétés est appelé un monoïde. Nous énoncerons les définitions générales relatives à la divisibilité dans le cadre d'un monoïde A* quelconque, ce qui sera utile dans la troisième partie.

On dit qu'un élément b de A* divise un élément a de A*, ou encore que a est divisible par b s'il existe un élément c tel que a = bc. Il est clair que cette notion de divisibilité généralise la notion usuelle de divisibilité dans le monoïde Z* des entiers relatifs non nuls et possède des propriétés analogues : par exemple, si c divise b et si b divise a, alors c divise a.

Dans toutes les questions de divisibilité, un rôle essentiel est joué par les unités, qui sont les éléments inversibles (ou encore, avec la terminologie ci-dessus, les éléments qui divisent l'élément unité 1) ; si A* est le monoïde des éléments non nuls d'un anneau d'intégrité A, ces éléments sont aussi appelés les unités de l'anneau : par exemple, dans l'anneau Z des entiers relatifs, les seules unités sont les nombres + 1 et − 1 et, dans l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps K, ce sont les polynômes constants non nuls. Dans tous les cas, on vérifie facilement que les unités forment un groupe multiplicatif ; pour un anneau A, la structure de ce groupe est une importante caractéristique arithmétique de A. Deux éléments a et b, qui diffèrent seulement par un élément inversible, c'est-à-di [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ANNEAUX COMMUTATIFS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/