NUMÉRIQUE ANALYSE

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Problèmes et méthodes numériques

Le rôle de l'analyse numérique

L'analyse numérique tient une place capitale dans les interventions des mathématiques, aussi bien en sciences physiques que dans le domaine de la biologie, des technologies et des sciences économiques et sociales. Mais elle offre aussi des possibilités très riches pour les sciences mathématiques elles-mêmes : sans oublier que, dans le passé, les problèmes numériques ont constitué un moteur pour le développement des concepts de l'analyse (cf.  calcul numérique), il convient de souligner que le développement récent des moyens de calcul scientifique a ouvert de nouvelles perspectives :

– le traitement de problèmes classiques à un niveau beaucoup plus complexe (par exemple la résolution de systèmes linéaires à un grand nombre d'inconnues et d'équations différentielles) ;

– le traitement de problèmes que les moyens classiques ne permettaient même pas d'aborder (équations aux dérivées partielles, problèmes variationnels, codages...) ;

– la simulation de problèmes (comportement des systèmes dynamiques discrets et continus, problèmes aux limites) permettant d'étudier l'influence des paramètres, la stabilité des solutions et les singularités ;

– des calculs portant non seulement sur des nombres ou des systèmes de nombres, mais sur des objets formels (polynômes, fonctions transcendantes élémentaires, fonctions spéciales) ;

– l'expérimentation : découverte et invalidation de conjectures, notamment en théorie des nombres ;

– la démonstration « automatique » de théorèmes : la résolution du problème des quatre couleurs, ou l'étude de la structure des groupes finis simples (cf. groupes - Groupes finis, chap. 2) en sont des exemples frappants.

Ces possibilités ont un effet en retour : la construction d'algorithmes et l'étude comparée de leur performance interviennent maintenant dans l'ensemble des mathématiques.

Dans la suite de ce texte, on traitera essentiellement des concepts et des méthodes de l'analyse numérique proprement dite, en renvoyant à l'article algorithmique pour des aspects complémentaires.

Concepts et méthodes de l'analyse numérique

Le concept d'approximation

Dans toutes les questions de représentation des nombres et des fonctions, il faut distinguer la recherche de solutions « exactes » de celle d'algorithmes d'« approximation » d'une solution. Mais on notera que le champ du concept d'approximation recouvre non seulement les problèmes issus de l'analyse mais aussi certaines questions purement algébriques. Ainsi, en algèbre linéaire, les méthodes itératives sont employées pour la résolution des systèmes (méthode de relaxations successives, de Gauss-Seidel, de Jacobi), pour la recherche des valeurs propres dominantes (quotient de Rayleigh) et pour la diagonalisation des matrices.

Le discret et le continu. Fondamentalement, l'analyse numérique établit un rapport organique entre le continu et le discret. Le plus souvent, on approche un problème continu par un problème discret portant sur une suite finie de nombres : parmi les nombreux exemples, citons les valeurs d'une fonction, les calculs d'intégrales, la résolution d'équations différentielles ou aux dérivées partielles. Mais il existe aussi des cas où il est commode d'approcher un problème discret peu accessible au calcul par un problème continu : comparaison de séries à des intégrales, utilisation de lois continues en probabilité et en statistique.

L'aspect algorithmique. C'est une des originalités essentielles du point de vue numérique en analyse. On ne s'intéresse pas seulement à l'existence de suites d'approximation d'un nombre ou d'une fonction mais à la recherche d'algorithmes, c'est-à-dire de procédures explicites de calcul des termes successifs d'une telle suite, et à l'étude de leur pertinence, ce qui conduit à la mise en place de plusieurs concepts quantitatifs que nous décrivons rapidement.

Précision et erreurs. Pour évaluer la précision d'un résultat, on doit prendre en compte trois types d'erreurs :

– les erreurs de méthode, relatives à la précision de l'algorithme utilisé ;

– les erreurs d'arrondi, liées à l'exécution des calculs ;

– les erreurs sur les données elles-mêmes.

Prenons un exemple très simple, à savoir l'approximation d'une valeur de sin x à l'aide du développement en série :

1. On remplace la série par une somme partielle ; l'erreur de méthode s'obtient en majorant le reste Rn.

2. Dans le calcul de Sn, la calculatrice arrondit les nombres à une précision donnée, par exemple 10-8.

3. Si x est un nombre irrationnel, la donnée elle-même est une valeur approchée.

Dans certains cas, il y a même des erreurs dues à la modélisation du phénomène étudié (linéarisation d'équations aux dérivées partielles par exemple).

Stabilité, perturbations. Le concept de stabilité est d'importance primordiale. Il concerne non seulement l'approximation des fonctions ou des formes linéaires sur des espaces fonctionnels, mais aussi les équations numériques ou fonctionnelles elles-mêmes. Il s'agit alors d'étudier la dépendance des solutions d'une telle équation par rapport aux paramètres (second membre, coefficients, etc.). Ici les résultats qualitatifs (continuité, différentiabilité) ne suffisent pas et on a besoin de majorations explicites, par exemple de type lipschitzien. Si la condition de stabilité est satisfaite, on dit parfois que le problème est bien posé.

Ce concept de stabilité intervient aussi dans l'étude des perturbations. Soit à étudier le comportement des solutions d'un problème Pλ où intervient un paramètre « petit » λ. Pour cela, on néglige dans un premier temps l'effet de λ en étudiant le problème P0, en général beaucoup plus simple, puis on cherche à approcher les solutions de Pλ par un développement asymptotique autour de λ = 0. Bien entendu, cette méthode n'est valable que si le problème est stable ; on dit alors que la perturbation est régulière, et on dit qu'elle est singulière dans le cas contraire.

Par exemple, pour l'équation :

la perturbation est régulière : sachant que 1 est une racine de l'équation non perturbée x3 − x = 0,  on  peut  approcher  une solution  aλ  de  (1)  sous  la  forme aλ = 1 + αλ + βλ2 + ... en déterminant de proche en proche les coefficients α, β, ... par identification, et il en serait de même pour les autres racines.

En revanche, pour l'équation :

la perturbation est singulière car le module d'une des deux racines tend vers l'infini lorsque λ tend vers 0 ; cette racine ne peut donc pas être obtenue à partir de l'équation x − 1 = 0.

Les méthodes de perturbation sont d'usage fréquent dans l'étude des équations différentielles (cf. équationsdifférentielles, chap. 6,perturbations, systèmes dynamiques) et des équations aux dérivées partielles (méthode WKB en mécanique quantique par exemple).

Rapidité de convergence, performance. Pour apprécier la pertinence d'un algo [...]

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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « NUMÉRIQUE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 29 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/