NUMÉRIQUE ANALYSE

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Problèmes et méthodes numériques

Le rôle de l'analyse numérique

L'analyse numérique tient une place capitale dans les interventions des mathématiques, aussi bien en sciences physiques que dans le domaine de la biologie, des technologies et des sciences économiques et sociales. Mais elle offre aussi des possibilités très riches pour les sciences mathématiques elles-mêmes : sans oublier que, dans le passé, les problèmes numériques ont constitué un moteur pour le développement des concepts de l'analyse (cf.  calcul numérique), il convient de souligner que le développement récent des moyens de calcul scientifique a ouvert de nouvelles perspectives :

– le traitement de problèmes classiques à un niveau beaucoup plus complexe (par exemple la résolution de systèmes linéaires à un grand nombre d'inconnues et d'équations différentielles) ;

– le traitement de problèmes que les moyens classiques ne permettaient même pas d'aborder (équations aux dérivées partielles, problèmes variationnels, codages...) ;

– la simulation de problèmes (comportement des systèmes dynamiques discrets et continus, problèmes aux limites) permettant d'étudier l'influence des paramètres, la stabilité des solutions et les singularités ;

– des calculs portant non seulement sur des nombres ou des systèmes de nombres, mais sur des objets formels (polynômes, fonctions transcendantes élémentaires, fonctions spéciales) ;

– l'expérimentation : découverte et invalidation de conjectures, notamment en théorie des nombres ;

– la démonstration « automatique » de théorèmes : la résolution du problème des quatre couleurs, ou l'étude de la structure des groupes finis simples (cf. groupes - Groupes finis, chap. 2) en sont des exemples frappants.

Ces possibilités ont un effet en retour : la construction d'algorithmes et l'étude comparée de leur performance interviennent maintenant dans l'ensemble des mathématiques.

Dans la suite de ce texte, on traitera essentiellement des concepts et des méthodes de l'analyse numérique proprement dite, en renvoyant à l'article algorithmique pour des aspects [...]


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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « NUMÉRIQUE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 mars 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/