ANALYSE NON STANDARD

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Une nouvelle vision mathématique

Mais il est intéressant de savoir qu'un courant original, à la fois logique, mathématique et philosophique, a vu au contraire dans l'idée du non-standard une novation susceptible de suggérer aux mathématiciens une vision de leur art et de leurs mondes plus « intuitionniste », une pratique des mathématiques pour une part empreinte de constructivisme, et qui réconcilie en un sens Brouwer et Hilbert. Ce courant, animé par Georges Reeb (1920-1992) en France et Edward Nelson (né en 1932) aux États-Unis, a connu essentiellement deux étapes.

Premièrement, Edward Nelson formule, en 1977, l'analyse non standard comme une mathématique non standard, liée à une nouvelle « théorie des ensembles », appelée « théorie des ensembles internes » (internal set theory, I.S.T.), qui apparaît comme une extension conservative de la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel avec axiome du choix (ZFC), en sorte qu'elle n'est aucunement en conflit avec la mathématique dominante au niveau des vérités qu'on y démontre. Cette mathématique non standard ajoute au langage de la théorie usuelle une nouvelle qualité pour les objets, celle d'être (ou n'être pas) standard. On est ainsi amené à concevoir qu'il y a, parmi la faune des ensembles, des ensembles non standards, qui sont à comprendre comme des ensembles non assignables, mal contrôlés, mal saisis, mal identifiés. La pensée de l'infini incluse dans la théorie des ensembles se simplifie si l'on prend en considération les objets non standards : de nombreuses définitions classiques de l'analyse se formulent de façon plus intuitive, avec un quantificateur de moins.

Deuxièmement, Pierre Cartier (né en 1932), Jacques Harthong (1948-2005), Georges Reeb et Edward Nelson ont poursuivi ce genre d'intuition en plaidant en faveur de la possibilité de développer le paysage et les problèmes de l'analyse, voire plus généralement de toute la mathématique, à partir de la seule admission d'un entier infiniment grand. Cela peut se faire et se justifier de plusieurs façons, en référence au théorème de Gödel (Liu), en faisant usag [...]

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Écrit par :

  • : professeur de philosophie des sciences, logique et épistémologie à l'université de Paris-X-Nanterre

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Pour citer l’article

Jean-Michel SALANSKIS, « ANALYSE NON STANDARD », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-non-standard/