ANALYSE MATHÉMATIQUE

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La théorie des fonctions analytiques

La notion de fonction remonte au xviie siècle ; mais jusque vers 1800, on admettait généralement qu'une fonction f d'une variable réelle, définie dans un intervalle, était indéfiniment dérivable, sauf en un nombre fini de points exceptionnels. On peut, pour une telle fonction, et pour tout point non exceptionnel x0, former la série de Taylor de f au point x0 :

et comme les idées sur la convergence des séries étaient restées des plus floues, on admettait que la fonction « était » sa série de Taylor au voisinage du point x0. L'usage de plus en plus répandu des nombres complexes permettait en outre de parler de telles séries pour des valeurs complexes des variables x et x0 et des coefficients (bien qu'en l'absence d'une représentation géométrique des nombres complexes l'utilisation de telles « fonctions d'une variable complexe » demeurât assez limitée).

Le début du xixe siècle est caractérisé tout d'abord par un retour à la rigueur, notamment dans l'emploi des séries, où, sous l'influence de Gauss et surtout d'Abel et de Cauchy, il est assez rapidement admis qu'une série n'a de sens que lorsqu'on a prouvé sa convergence. Or, une fonction d'une variable réelle peut être indéfiniment dérivable dans un intervalle |x − x0| ≤ α, sans que sa série de Taylor au point x0 converge pour ≠ x0 ; il se peut aussi que la série de Taylor au point x0 soit convergente pour tout x, mais que sa somme soit différente de la fonction d'où l'on est parti (ce dernier cas se présente par exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour ≠ 0 et à 0 pour = 0, en prenant x= 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis longtemps que les fonctions rationnelles, ou la fonction ex, étaient analytiques ; Abel prouva qu'il en est de même de xμ et de log x (pour x > 0). Mais c'est Cauchy qui est l'initiateur de la théorie [...]


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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « ANALYSE MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/