DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE

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Applications de la similitude

Étude des hélices

Les variables les plus générales qui interviennent dans l'étude de la poussée P d'une hélice sont le diamètre D, la vitesse de rotation n, la vitesse d'avancement v (vitesse de l'avion ou du navire propulsé par exemple), l'accélération de la pesanteur g (pour une hélice de navire), la masse spécifique ρ et la viscosité cinématique ν du fluide dans lequel elle se meut, la célérité du son dans l'air c (pour une hélice d'avion) ; si l'hélice était à pas variable, il faudrait en tenir compte, mais on ne le fera pas ici. Il y a huit variables et, le rang de leur matrice dimensionnelle étant égal à trois, on peut former les cinq produits sans dimension suivants :

et on peut écrire :

Pour une hélice marine l'influence du nombre de Mach est nulle et Ma n'a pas à être écrit. Si l'hélice est immergée très profondément en sorte que les vagues qu'elle forme soient négligeables, la pesanteur n'affectera pas la poussée de l'hélice et Fr pourra être supprimé. Dans le cas contraire, une similitude complète exigerait, entre le modèle et le réel, l'égalité des quatre produits sans dimension précédents, soit, en fait, l'égalité de Fr, Re et v/nD, puisque celle-ci entraîne automatiquement celle de P/ρv2D2. Cette similitude triple est impossible dans la pratique ; on admet alors que la viscosité cinématique a une influence secondaire (ce qui revient à attribuer à Re une valeur différente pour le modèle et le réel) et on réalise les similitudes de Fr et v/nD.

Soit un navire réel avec une hélice telle que D = 6 mètres, v = 7,5 m/s et n = 2 tours par seconde. Dans le but de déterminer la poussée de cette hélice réelle, on veut essayer dans l'eau un modèle géométriquement semblable de la coque du navire et de l'hélice à l'échelle 1/10. On a, pour le réel Fr = 0,975, v/nD = 0,626. On prendra pour le modèle Fr′ = 0,95 et v′/nD′ = 0,626, soit v′ = 2,35 m/s et n′ = 6,28 tr/s, puisque λ = D′/D = 1/10 et D′ = 0,60 m. On procédera aux essais avec ces valeurs. On a de plus Re = 45/ν et Re′ = 1,41/ν, soit Re′/Re = 0,0313, ce qui est très différent. On fait appel à la théorie générale des hélices pour apprécier l'effet d'une aussi grande réduction de Re sur les résultats, qu'on corrigera éventuellement des phénomènes de viscosité, négligés pour les essais.

Pour une hélice d'avion, c'est l'influence du nombre de Froude qui est nulle et Fr′ n'a pas à être écrit. L'influence de Ma ne prend de l'importance que pour de très grandes vitesses et peut être négligée dans les cas usuels. Restent, pour la similitude restreinte, Re et v/nD, et le problème est analogue à celui de l'hélice marine. Cependant, ici, l'influence de Re est négligeable si on compare entre elles des hélices semblables de diamètres voisins. En revanche, si on veut faire des essais en soufflerie de maquettes d'avions motorisées ou d'hélicoptères, la corde des pales de l'hélice devient si petite que la valeur de Re fausse complètement les renseignements qu'on voudrait obtenir sur l'hélice. Ainsi, les essais d'hélicoptères sur modèles réduits sont impossibles, alors que les essais de maquettes d'avions sont, quant à eux, très satisfaisants.

La similitude des fluides compressibles

En l'absence de force massique et sans l'intervention de la rugosité, il suffit, pour respecter les conditions de similitude des fluides incompressibles, de garder constant le nombre de Reynolds Re. Les écoulements des fluides compressibles mettent en jeu un phénomène nouveau, la compressibilité, et les essais réalisés sur modèles doivent respecter l'égalité avec le réel d'un nouveau paramètre, le nombre de Mach. Dans les fluides incompressibles, la célérité du son est infinie et Ma est nul ; ce qui explique que, pratiquement, lorsque Ma est faible, c'est-à-dire lorsqu'un fluide s'écoule à une vitesse suffisamment faible, on puisse l'assimiler à un liquide. La variable Ma dépend de la célérité du son, donc du rapport γ des capacités thermiques massiques à pression constante et à volume constant, du fluide. En pratique, le paramètre important de l'étude des fluides compressibles est Ma et c'est avec lui qu'on réalisera une similitude restreinte.

C'est ainsi que les divers fonctionnements possibles d'une turbomachine à fluide compressible et de toutes les machines semblables pour différents fluides de même atomicité (donc ayant des γ égaux) peuvent être représentés sur un graphique unique en choisissant pour Ma le rapport de la vitesse périphérique à la célérité du son dans les conditions d'aspiration. Si p1 et p0 sont les pressions du fluide à l'entrée et à la sortie, et si r est le rayon extérieur de la roue, on a par exemple p1/p0 = f (U/c0, I/c0 r 2ω0−), où I est le débit poids du fluide et ω0− le poids spécifique à l'aspiration.

La similitude des échanges calorifiques

Les conditions d'écoulement d'un fluide ont une importance prépondérante sur les échanges calorifiques. Pour qu'il y ait similitude de ces derniers, il faut tout d'abord qu'il y ait déjà similitude mécanique, c'est-à-dire que les deux champs étudiés comportent des limites géométriques semblables et des vitesses équipollentes aux points homologues. Il faut ensuite qu'en deux points correspondants, les rapports des différents termes de l'équation du flux thermique soient conservés. On arrive ainsi pour les liquides à Nu = (RePr) et pour les fluides compressibles à Nu = (RePrγMaθ0θ).

La similitude de cavitation

Lorsqu'il s'agit de liquides, on peut remarquer que la valeur absolue de la pression n'intervient pas dans les équations du mouvement et que seules les dérivées de la pression apparaissent. Il en résulte que ce sont uniquement les différences de pression qui obéissent aux lois de similitude, et non les pressions elles-mêmes. Mais, lorsqu'en un point quelconque d'un écoulement la pression tombe en dessous de la tension de vapeur à la température correspondante, il se forme des cavités remplies de vapeur ; c'est le phénomène de la cavitation. Pour respecter la similitude vis-à-vis de la cavitation, il est donc nécessaire que pour deux champs, pour le reste semblables, la pression atteigne la valeur de la tension de vapeur en des points homologues. D'après l'équation de Bernoulli, et en appelant e la tension de vapeur à la température de l'essai, il faut alors que les deux termes (p − e)/ρ et v2/2g soient dans un même rapport. On est conduit à l'égalité des nombres de Leroux Le entre le modèle et le réel. La cavitation n'apparaît que si Le tombe au-dessous d'une certaine valeur critique. Jusqu'à celle-ci, Le n'a aucune influence sur les écoulements et il est inutile d'en tenir compte. En dessous de cette valeur, l'allure des phénomènes en dépend considérablement.

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Dans le chapitre « Équations de Navier-Stokes »  : […] La différence entre les quantités de mouvement entrant et sortant par les faces d'un élément de volume parallélépipédique fixe est égale à la résultante des forces appliquées à cet élément, c'est-à-dire à la résultante des forces dues aux contraintes sur les faces et des forces volumiques. Cela s'exprime par l'équation (13), où l'indice i est remplacé successivement par x, y et z . D (ρV i )/D t […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Michel KOTCHARIAN, « DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-et-similitude-dimensionnelles/