DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE

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Quelques exemples d'application

Comme exemple d'application de l'analyse dimensionnelle à la mécanique des fluides, considérons le cas d'une sphère se déplaçant à la vitesse v dans un fluide de masse volumique ρ. Étudions la force de traînée F que le fluide exerce sur la sphère.

Il faut d'abord dénombrer les variables qui interviennent dans le problème : la force de traînée F, la vitesse v de la sphère, son diamètre D, la masse volumique ρ et la viscosité dynamique η du fluide. Il y a donc une relation de la forme (F, v, Dρη) = 0 et cinq variables.

Le tableau (8) permet d'écrire directement la matrice dimensionnelle (D). Son rang est r = 3 et m = n − r = 5 − 3 = 2. Une série de deux produits sans dimension est donc complète. Le système (1) s'écrit alors sous la forme (9) et u1, u2, u3 peuvent s'exprimer en fonction de u4 et u5. Sous la forme (4) le système (9) amène aux équations (10), qui conduisent, exprimées sous la forme (5), aux solutions (11). La matrice des solutions permet alors d'établir le tableau des solutions (12), qui donne les deux produits sans dimension π1 et π2.

Formules 1 à 12

Tableau : Formules 1 à 12

Formules 1 à 12. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Formules 1 à 12

Tableau : Formules 1 à 12

Formules 1 à 12. 

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On reconnaît :

(Cx est le coefficient de traînée). La première partie du théorème de Vaschy permet alors d'écrire ϕ(CxRe) = 0 ou Cx = ϕ′(Re). Tous les problèmes relatifs à la traînée de la sphère dans le fluide et tous les « domaines de fonctionnement » seront donc explorés expérimentalement en faisant varier Re, puis en mesurant Cx (en soufflerie par exemple) et en traçant la courbe unique Cx = ϕ′(Re), qui aura de plus l'avantage d'être indépendante des unités.

Considérons un problème de résistance des matériaux : soit une poutre prismatique posée sur deux appuis horizontaux et supportant une charge verticale concentrée entre les deux appuis. Étudions la variation de la flèche l prise par la poutre. Cette flèche dépend de la distance L entre les appuis, de la valeur F de la charge, du module d'élasticité E de la poutre et de son inertie I en flexion. On a donc une relation de la forme f (lFLEI) = 0 avec cinq variables. L'analyse dimensionnelle donne l/L = ϕ(FL2/EI, I/L4).

En thermodynamique, la transmission de la chaleur à un fluide s'écoulant en régime turbulent dans une tuyauterie dépend des variables suivantes : le diamètre D de la tuyauterie, la vitesse moyenne v du fluide, la masse volumique ρ et la viscosité cinématique ν du fluide, sa conductivité thermique λ et sa capacité thermique massique à pression constante cp, la différence ▵θ entre la température moyenne du fluide dans une section donnée et la température de la paroi de la tuyauterie dans la même section. On a donc f (D, v, ρνλcp, ▵θ), soit sept variables. Le rang de la matrice dimensionnelle est 4 et on peut former une série complète de m = 7 − 4 = 3 produits sans dimension. On trouve les nombres de Nusselt Nu, de Prandtl Pr et de Reynolds Re, et on peut écrire Nu = ϕ(Re, Pr).

En électromagnétisme, la chute de potentiel U à travers un thermistor (conducteur électrique dont la résistance tombe notablement lorsque la température augmente) est fonction de l'intensité I du courant, de la température ambiante θ0, de la résistance R0 à la température θ0, du coefficient de convection thermique hc entre le thermistor et le milieu ambiant et d'une constante a caractéristique du thermistor. Il y a donc une relation de la forme U = (Iθ0R0hca) avec six variables. Le rang de la matrice dimensionnelle est égal à trois et une série complète comprendra trois produits sans dimension formés à partir de ces variables. Ce sont par exemple π1 = U/R0ahc, π2 = θ0/a, π3 = IR0/ahc, et le théorème de VaschyBuckingham permet d'écrire π1 = ϕ(π2π3). La fonction ϕ sera déterminée expérimentalement.

Les principes de l'analyse dimensionnelle servaient bien avant que le théorème de Vaschy-Buckingham ne fût démontré. En 1899, lord Rayleigh utilisa la méthode suivante, dite méthode de Rayleigh, complètement différente de celle de Vaschy et de Buckingham, mais conduisant au même résultat. Pour illustrer cette méthode, reprenons l'exemple consistant à étudier la force de traînée F exercée par un fluide de masse volumique ρ et de viscosité dynamique η sur une sphère de diamètre D se déplaçant à la vitesse v dans le fluide. La relation F = (v, D, ρ, ν) est développée en série par Rayleigh sous la forme :

où les A sont des coefficients sans dimension. En écrivant les dimensions des deux membres et en identifiant, on arrive à x = 2 − t, y = 2 − t, z = 1. On peut donc écrire :
où l'on reconnaît le nombre de Reynolds, soit finalement F = v2D2ρϕ(Re), qui est bien la relation Cx = ϕ′(Re) obtenue par la méthode de Vaschy-Buckingham.

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Michel KOTCHARIAN, « DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-et-similitude-dimensionnelles/