DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE

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Principes de l'analyse dimensionnelle

L'homogénéité dimensionnelle des équations

Une équation est dite dimensionnellement homogène si on peut l'appliquer dans n'importe quel système d'unités sans changer ni sa forme ni la valeur de ses coefficients numériques. Par exemple, l'équation donnant l'espace parcouru en fonction du temps pour un corps tombant en chute libre dans le vide, e = (1/2) gt2, est valable, que les longueurs soient exprimées en mètres, pieds ou pouces et que les temps soient mesurés en secondes, heures ou minutes ; elle est donc dimensionnellement homogène. Si on remplace dans cette équation la valeur g par 9,81 m/s2, elle devient e = 4,905 t2. La nouvelle équation ainsi obtenue est correcte là où l'accélération de la pesanteur vaut 9,81 m/s2, mais elle n'est plus dimensionnellement homogène, car le facteur 4,905 n'est valable que si les longueurs sont exprimées en mètres et les temps en secondes.

Les lois physiques doivent s'exprimer par des relations homogènes de la forme P + Q + R + ... = 0, où les différents termes P, Q, R, ... sont des monômes ayant tous la même dimension et formés à partir des variables données. S'il n'en était pas ainsi, en effet, un simple changement dans la grandeur des unités fondamentales conduirait à des nouvelles valeurs des différents monômes P, Q, R, ... non proportionnelles aux anciennes ; la relation ne serait donc plus satisfaite, ce qui serait absurde, car les lois physiques sont indépendantes de l'homme et du symbolisme mathématique qui permet de les représenter. Il s'ensuit que si une équation résultant d'un calcul contient une somme ou une différence de deux ou de plusieurs termes qui n'ont pas la même dimension, c'est que l'équation est fausse a priori. Si, au contraire, ils ont effectivement la même dimension, il se peut que l'équation soit juste, mais ce n'est pas sûr quant à la valeur des coefficients numériques, que l'analyse dimensionnelle ne permet pas d'entériner puisqu'ils sont sans dimension. Quoi qu'il en soit, la vérification fréquente au cours d'un calcul de l'homogénéité des équations, en partant des dimensions des grandeurs qui y figurent, permet d'éviter bien des erreurs.

Les variables sans dimension ou variables réduites

Soit X1, ..., Xi, ... des grandeurs ou variables physiques arbitraires. Si Xi est une grandeur dynamique, on peut toujours former avec Xi et trois grandeurs indépendantes de référence X1, X2, X3 une nouvelle grandeur πi de la forme :

et choisir les coefficients numériques u1, u2, u3 tels que l'on ait pour la dimension de πi, [πi] = [L0M0T0] = [1]. La dimension de πi est alors nulle et on dit que πi est une variable (ou grandeur, ou produit) réduite ou sans dimension. Si la variable Xi avait été une grandeur cinématique, il aurait suffi de deux grandeurs indépendantes de référence X1, X2 pour former :
et arriver à [πi] = [L0T0] = [1] par un choix correct de u1 et de u2.

Un certain nombre d'expressions sans dimension sont consacrées par l'usage. On les désigne par le terme de « nombres » suivi du nom des physiciens qui les ont introduites les premiers ; ainsi le nombre de Reech-Froude a été introduit par Ferdinand Reech en 1831 et utilisé pratiquement par William Froude ensuite. Cependant, en ce qui concerne les grandeurs sans dimension, les vocables de variable, grandeur, produit et nombre sont équivalents et ont tous la même signification.

Le tableau montre les principaux produits sans dimension utilisés couramment, consacrés par l'usage et ayant reçu un « nom de baptême ». Il n'a rien de limitatif et on peut former une infinité de tels nombres sans dimension à ceci près que ces derniers n'auront pas des noms universellement reconnus. Ces produits sans dimension entrent principalement dans les problèmes de mécanique des fluides et de thermodynamique. Les produits sans dimension qui interviennent dans les autres disciplines de la physique telles que résistance des matériaux, électricité, électronique, magnétisme, électromagnétisme, etc., ne sont pas normalisés et n'ont pas reçu de nom.

Produits sans dimension

Tableau : Produits sans dimension

Principaux produits sans dimension utilisés en mécanique des fluides et en thermodynamique. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Séries complètes de produits sans dimension

L'étude d'un problème donné dans n'importe quelle discipline de la physique met en jeu un certain nombre de variables dont le dénombrement doit être fait préalablement par une analyse poussée du problème. Soit X1, X2, ..., Xn les n variables auxquelles une telle analyse a conduit. Il est a priori possible de former à partir de ces n variables, m produits monômes sans dimension π1, ..., πm qui soient tous indépendants les uns des autres, c'est-à-dire tels qu'aucun des πi (πm par exemple) ne puisse être obtenu par une combinaison de la forme πa1πb2 ... πkm-1 des (m − 1) autres. Une telle série π1, ..., πm est dite série complète de produits sans dimension formés à partir des Xi.

Par exemple, dans tout problème de mécanique des fluides sans échange de chaleur, entrent en général les huit variables F, l, v, ρ, η, g, c, γ à partir desquelles on peut former la série des sept produits sans dimension Re, Eu, Fr, Ma, We, v3/νg, ρF/η2. Cependant, cette série ne constitue pas une série complète, car les deux derniers produits s'expriment par une combinaison des cinq premiers ; on a, en effet, v3/vg = Re . Fr2 et ρF/η2 = Re2/We. Inversement, la série Re, Eu, Fr, Ma, We des cinq premiers forme bien une série complète, car ces cinq produits sont indépendants les uns des autres. En effet, aucun d'entre eux ne peut être formé à partir des quatre autres ; cela est évident, car η n'intervient que dans Re, p dans Eu, g dans Fr, c dans Ma et γ dans We.

Produits sans dimension

Tableau : Produits sans dimension

Principaux produits sans dimension utilisés en mécanique des fluides et en thermodynamique. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Il est des problèmes de mécanique des fluides où certaines des huit variables précédentes peuvent ne pas avoir d'influence ; on éliminera alors de la série complète le produit sans dimension faisant appel à cette variable. Par exemple, dans l'étude des problèmes relatifs à l'aérodynamique incompressible, la célérité du son c n'a pas d'influence significative ; on éliminera donc le nombre de Mach Ma et la série complète sera dans ce cas Re, Eu, Fr, We.

Matrice dimensionnelle d'un ensemble de variables

Soit X1, X2, ..., Xn les n variables qui interviennent dans un problème donné. Tout produit π de ces variables est de la forme :

où les coefficients ui sont des exposants constants. On peut supposer, ce qui ne restreint pas la généralité de ce qui suit, que ces n variables sont des grandeurs dynamiques ; il n'y a alors que trois grandeurs fondamentales, L, M, T, à considérer (il n'y en aurait par exemple que deux, L et T, pour des variables cinématiques et quatre, L, M, T, Θ, si le problème considéré mettait en jeu la thermodynamique). Dans ces conditions, si
est la dimension de la variable Xi, la dimension du produit π est
soit :

Si π est sans dimension, on doit avoir [π] = [L0M0T0], soit le système d'équations (1), dont le nombre de lignes est égal au nombre k de grandeurs fondamentales considérées. Ce système [...]

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Grandeurs physiques

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Formules 1 à 12

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Dans le chapitre « Équations de Navier-Stokes »  : […] La différence entre les quantités de mouvement entrant et sortant par les faces d'un élément de volume parallélépipédique fixe est égale à la résultante des forces appliquées à cet élément, c'est-à-dire à la résultante des forces dues aux contraintes sur les faces et des forces volumiques. Cela s'exprime par l'équation (13), où l'indice i est remplacé successivement par x, y et z . D (ρV i )/D t […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Michel KOTCHARIAN, « DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-et-similitude-dimensionnelles/