DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE

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Dimensions physiques

Définition des dimensions

Lorsqu'on change d'unités, la nouvelle mesure (g) d'une grandeur (G) s'obtient en multipliant l'ancienne mesure (g0) de cette grandeur par un coefficient constant, qui est le rapport de l'ancienne unité U0 à la nouvelle U : g = g0(U0/U). Pour obtenir, dans un nouveau système, les mesures d'une longueur, d'une masse, d'un temps, d'une force, etc., évaluées respectivement dans un ancien système par les nombres l, m, t, F, ..., il faut multiplier ces anciennes mesures respectivement par les nombres λ, μ, θ, ϕ, ..., rapports des anciennes unités de longueur, masse, temps, force, ..., aux nouvelles. Or ces coefficients λ, μ, θ, ϕ, ... ne sont pas indépendants les uns des autres, puisque, en mécanique, dès que les nouvelles unités fondamentales de longueur, masse et temps sont fixées, c'est-à-dire dès que λ, μ, θ sont choisis, les autres unités, et, par suite, les autres coefficients ϕ, ... sont déterminés. On vérifie que chacun de ces coefficients est de la forme λaμθc et l'on dit que la grandeur correspondante G a pour dimensions [G] = [La Mb Tc] ou encore que la grandeur G est le produit d'une longueur à la puissance a, par une masse à la puissance b, par un temps à la puissance c. Il ne faut pas y voir d'autre sens que celui-ci : le changement d'unités affecte la mesure g de G comme si g était liée aux mesures L, M, T d'une longueur, d'une masse et d'un temps par une formule de la forme g = La Mb Tc. Par conséquent, les dimensions constituent un code qui renseigne sur la façon dont varie la valeur numérique g d'une grandeur G quand les unités de mesure fondamentales sont modifiées. Les dimensions des grandeurs physiques s'obtiennent en vérifiant l'homogénéité de formules simples que l'on sait a priori être exactes. Par exemple, la formule

qui définit la vitesse, reste vraie après un changement d'unités ; elle entraîne donc [v] = [LT-1] et l'on dit qu'une vitesse est le quotient d'une longueur par un temps ou que la dimension d'une vitesse est LT-1, ce qui fait qu'une vitesse est mesurée par exemple en mètre par seconde. De même, pour l'accélération, la formule
conduit à [a] = [LT-2] ; une accélération est le quotient d'une longueur par un temps au carré et on la mesure en mètre par seconde carrée. Le tableau donne les dimensions des principales grandeurs physiques. Les dimensions de toutes les grandeurs dérivées s'écrivent en fonction des seules dimensions des grandeurs fondamentales ; c'est pour cela que, pour les unités mécaniques, toutes les dimensions s'écrivent en fonction des trois dimensions de base, L, M, T, alors qu'en électricité, par exemple, il y a quatre dimensions de base, L, M, T et l'intensité de courant électrique I.

Grandeurs physiques

Tableau : Grandeurs physiques

Dimensions des principales grandeurs physiques. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Transposition des unités de mesure

Les dimensions physiques sont très commodes pour convertir rapidement des unités d'un système dans un autre système. Soit à trouver la relation existant entre le newton, unité de force du système international (SI), et le sthène, unité de force de l'ancien système MTS ; on écrit g = (1)(U0/U), où (U0/U) = M0L0T0-2/MLT-2. Puisque λ = L0/L =1, θ = T0/T = 1, μ = M0/M = 1 000/1 = 1 000, on a U0/U = 1 000, et 1 sthène = 1 000 newtons. Soit aussi à exprimer 150 livres-force par pouce carré (150 psi) en pascals. Puisque 1 livre-force = 4,448222 N et 1 pouce = 0,0254 m, on a :

Cette méthode est parfaitement générale.

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Grandeurs physiques

Grandeurs physiques
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Formules 1 à 12

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Dans le chapitre « Équations de Navier-Stokes »  : […] La différence entre les quantités de mouvement entrant et sortant par les faces d'un élément de volume parallélépipédique fixe est égale à la résultante des forces appliquées à cet élément, c'est-à-dire à la résultante des forces dues aux contraintes sur les faces et des forces volumiques. Cela s'exprime par l'équation (13), où l'indice i est remplacé successivement par x, y et z . D (ρV i )/D t […] Lire la suite

Pour citer l’article

Michel CAZIN, Michel KOTCHARIAN, « DIMENSIONNELLES ANALYSE & SIMILITUDE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-et-similitude-dimensionnelles/