COMBINATOIRE ANALYSE

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Existence et construction de modèles

Un certain nombre de modèles ont été tout particulièrement étudiés, c'est le cas des carrés latins, sans doute parce qu'un mathématicien célèbre comme Euler fit à leur sujet une conjecture malheureuse et qu'il fallut attendre 177 ans pour prouver son inexactitude. En introduisant des notions comme celle d'orthogonalité, on a pu établir des liens étroits entre les carrés latins et certaines géométries finies, ou encore avec d'autres modèles comme les blocs incomplets équilibrés, ce qui a permis souvent d'étudier le même objet avec des optiques différentes.

Un carré latin d'ordre n est une matrice carrée A = (aij), 1ijn dont les coefficients aij sont 1, 2, ...n et dans laquelle chaque entier k apparaît une et une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne (1 ≤ k  n). Il existe naturellement un carré latin d'ordre n pour tout ≥ 1. Par exemple, la table de multiplication d'un groupe fini d'ordre n est un carré latin. En fait, un carré latin peut être considéré comme la table de multiplication d'un système algébrique dont la loi est seulement supposée simplifiable. Soit ln le nombre de carrés latins d'ordre n ; jusqu'à ce jour, on a pu déterminer les valeurs exactes de ln pour 1 ≤ ≤ 8. Pour calculer l8, on a dû recourir à l'usage d'ordinateurs, mais même avec ceux-ci, en l'absence de nouvelles méthodes, on ne peut espérer aller bien loin dans cette direction. En revanche, l'orthogonalité a permis de trouver des résultats plus intéressants. Soit A = (aij) et B = (bij), deux carrés latins d'ordre n ; on dit qu'ils sont orthogonaux si tous les n2 couples (aijbij), où ij = 1, 2, ..., n, sont distincts. Par exemple, les deux carrés latins d'ordre 4 indiqués ci-dessous sont orthogonaux :

Soit C la matrice ayant pour coefficients les couples (aijbij) ; dans C tous les n2 couples (1, 1), (1, 2), ..., (nn) apparaissent une et une seule fois. Dans l'exemple ci-dessus, on obtient la matrice :

On dit parfois que C est un carré gréco-latin. On s'est alors posé le problème de savoir s'il existe une paire de carrés latins orthog [...]


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Dominique FOATA, « COMBINATOIRE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-combinatoire/