COMBINATOIRE ANALYSE

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Fonctions génératrices

On a vu qu'on ne savait pas trouver de formule explicite donnant le nombre de surjections d'un ensemble de n éléments sur un ensemble de p éléments, mais on peut faire apparaître ces nombres comme coefficients d'une série. La fonction de deux variables f (t, u) = exp (t(exp u − 1)) se développe en série sous la forme :

le nombre de Stirling Spn apparaît, divisé par n !, comme coefficient du monôme untp. On dit que la fonction f (tu) est la fonction génératrice des nombres Spn/n ! ; puisqu'on connaît l'expression de cette fonction génératrice, on pourra résoudre d'autres problèmes combinatoires ou trouver des fonctions génératrices d'autres nombres liés aux nombres de Stirling.

Supposons donné un anneau A commutatif et ayant un élément unité. On appelle série formelle à coefficients dans A et en une indéterminée u, une somme symbolique infinie :

où les an sont dans A (≥ 0). On dit que an est le coefficient de un dans cette série. La somme et le produit de deux séries formelles sont définis de manière à respecter les règles usuelles de distributivité pour le produit de deux séries infinies et le calcul sur les puissances unum = un+m (cf. anneaux et algèbres, chap. 2) : si on a deux séries :
leur somme est la série :
et leur produit est donné par :
où l'on a : cn = a0bn + a1bn-1 +...+ anb0 pour tout ≥ 0. Si U est une telle série sans terme constant, c'est-à-dire telle que le coefficient de u0 soit nul, on appelle exponentielle de U la série :

En d'autres termes, exp U est la série formelle dont le coefficient de un est le coefficient de un dans la somme (finie) :

Une suite infinie d'indéterminées t = (t1t2, ...) étant donnée, nous prenons pour anneau A l'anneau des polynômes à coefficients rationnels dont les indéterminées sont prises dans la suite t. Posons alors :

son terme constant est nul, on peut donc prendre son exponentielle, qu'on peut écrire :

Il est facile de voir que an est un polynôme de degré n en les n variables t1, t2, ..., tn, où ≥ 1. Plus précisément, on a :

où la sommation est étendue à toutes les suites (m1m2, ..., mn) de n e [...]


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Nombres de Stirling

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Pour citer l’article

Dominique FOATA, « COMBINATOIRE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-combinatoire/