COMBINATOIRE ANALYSE

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Dénombrements élémentaires

Dans les opérations élementaires de dénombrement, on utilise un langage très proche du réel. On parle de choisir un objet de m façons différentes, on dit qu'il n'y a qu'un nombre n de possibilités... Considérons ainsi l'exemple suivant. Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10 ; on tire successivement deux boules de l'urne sans remettre la première après tirage. Combien y a-t-il de tirages croissants, c'est-à-dire de façons de tirer deux boules dont les numéros vont en croissant ? Pour déterminer ce nombre, on raisonne de la façon suivante. Si la première boule a été tirée et que son numéro est i (1 ≤ i ≤ 10), pour obtenir un tirage croissant, on peut choisir le numéro j de la seconde de 10 − i façons différentes. Enfin, pour obtenir un tirage croissant, on peut choisir soit un tirage commençant par le numéro 1, soit un tirage commençant par 2, etc. Le nombre de tirages croissants est alors égal à (10 − 1) + (10 − 2) + ... + (10 − 9) + (10 − 10) = 45. On a implicitement utilisé les deux règles suivantes (la seconde avant la première) :

– Règle de la somme : Si on peut choisir un objet a de m façons et un objet b de n façons, on peut choisir a ou b de m + n façons.

– Règle du produit : Si on peut choisir un objet a de m façons, puis un objet b de n façons, on peut choisir a puis b, dans cet ordre, de mn façons.

Reprenons l'exemple ci-dessus. Pour caractériser un tirage, il suffit de se donner un couple (ij) d'entiers tels que i et j soient compris entre 1 et 10. Désignons par X l'ensemble des couples (ij) tels que 1 ≤ i < j ≤ 10. Les tirages croissants correspondent aux éléments de X et, pour trouver le nombre de tirages croissants, il suffit de dénombrer l'ensemble X, c'est-à-dire de compter le nombre de ses éléments. Pour 1 ≤ h ≤ 10, notons Xh l'ensemble des couples (ij) de X tels que i = h ; ainsi Xh est le produit cartésien des ensembles {h} et {h + 1, h + 2, ..., 10}. De plus, les ensembles Xh sont disjoints deux à deux et leur réunion est X. Désignons par |Xh| le nombre des éléments de Xh ; alors en posant k = 10, le nombre, noté |X| des éléments de X est donné par :

De plus, pour 1 ≤ ≤ 10, on a :

En appliquant les formules (1) et (2), on retrouve bien 45 pour le nombre des éléments de X. Dans cette dernière démarche, nous avons résolument adopté le langage de la théorie des ensembles et utilisé certains résultats sur les ensembles finis. D'abord comment caractérise-t-on les ensembles finis ? En premier lieu, on définit une numérotation d'un ensemble X comme une suite x1, x2, ..., xn d'éléments de X telle x≠ xj pour ≠ j et telle que tout élément de X soit l'un des xi. Les ensembles finis sont ceux qui possèdent une numérotation. L'entier n qui apparaît dans une numérotation d'un ensemble fini X s'appelle le cardinal de X ou le nombre d'éléments de X et se note |X|. Cet entier ne dépend pas en effet de la numérotation choisie. On convient que |∅| = 0. On obtient alors :

– Formule de la somme : Si X et Y sont deux ensembles finis, disjoints, l'ensemble X ∪ Y est fini et l'on a :

– Formule du produit : Si X et Y sont deux ensembles finis, le produit cartésien X × Y de X par Y est fini et l'on a :

Ces deux formules se démontrent de la même façon. On détermine une numérotation de X ∪ Y et de X × Y, supposant données des numérotations de X et de Y et on vérifie les formules (3) et (4).

Ces formules ont été utilisées, de façon explicite, dans l'exemple, en (1) et (2). Elles sont la traduction dans le langage de la théorie des ensembles des règles de la somme et du produit. On ne parle plus de « choisir un objet a de m façons », mais on considère l'ensemble X des choix possibles pour a et l'on suppose que l'on a |X| = m. Cette transcription nous permettra dans la suite d'utiliser indifféremment les deux langages. Lorsque les ensembles X et Y sont des ensembles finis quelconques, on peut exprimer les ensembles X ∪ Y et Y comme des réunions de deux ensembles disjoints, à savoir :

En appliquant la formule de la somme dans les deux cas, on obtient :

Rappelons enfin un principe fondamental dans le dénombrement : (6) Pour que deux ensembles finis X et Y aient le même cardinal, il faut et il suffit qu'il existe une bijection de X sur Y.

Dans de nombreux cas, la difficulté sera effectivement de construire une telle bijection. Examinons maintenant quelques dénombrements fondamentaux.

D'abord les trois formules (3), (4) et (5) s'étendent au cas général de k e [...]

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Pour citer l’article

Dominique FOATA, « COMBINATOIRE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-combinatoire/