COMBINATOIRE ANALYSE

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Dénombrements élémentaires

Dans les opérations élementaires de dénombrement, on utilise un langage très proche du réel. On parle de choisir un objet de m façons différentes, on dit qu'il n'y a qu'un nombre n de possibilités... Considérons ainsi l'exemple suivant. Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10 ; on tire successivement deux boules de l'urne sans remettre la première après tirage. Combien y a-t-il de tirages croissants, c'est-à-dire de façons de tirer deux boules dont les numéros vont en croissant ? Pour déterminer ce nombre, on raisonne de la façon suivante. Si la première boule a été tirée et que son numéro est i (1 ≤ i ≤ 10), pour obtenir un tirage croissant, on peut choisir le numéro j de la seconde de 10 − i façons différentes. Enfin, pour obtenir un tirage croissant, on peut choisir soit un tirage commençant par le numéro 1, soit un tirage commençant par 2, etc. Le nombre de tirages croissants est alors égal à (10 − 1) + (10 − 2) + ... + (10 − 9) + (10 − 10) = 45. On a implicitement utilisé les deux règles suivantes (la seconde avant la première) :

– Règle de la somme : Si on peut choisir un objet a de m façons et un objet b de n façons, on peut choisir a ou b de m + n façons.

– Règle du produit : Si on peut choisir un objet a de m façons, puis un objet b de n façons, on peut choisir a puis b, dans cet ordre, de mn façons.

Reprenons l'exemple ci-dessus. Pour caractériser un tirage, il suffit de se donner un couple (ij) d'entiers tels que i et j soient compris entre 1 et 10. Désignons par X l'ensemble des couples (ij) tels que 1 ≤ i < j ≤ 10. Les tirages croissants correspondent aux éléments de X et, pour trouver le nombre de tirages croissants, il suffit de dénombrer l'ensemble X, c'est-à-dire de compter le nombre de ses éléments. Pour 1 ≤ h ≤ 10, notons Xh l'ensemble des couples (ij) de X tels que i = h ; ainsi Xh est le produit cartésien des ensembles {h} et {h + 1, h + 2, ..., 10}. De plus, les ensembles Xh sont disjoints deux à deux et leur réunion est X. Désignons par |Xh| le nombre des éléments d [...]


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Pour citer l’article

Dominique FOATA, « COMBINATOIRE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 29 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-combinatoire/