ALGORITHMIQUE

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Algorithmes de calcul de p

Algorithmes de calcul de p
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Arbre binaire

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Échelle de complexité

Échelle de complexité
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L'exemple du calcul de π

La question du calcul du nombre π = 3,141 592 6... (rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle), étudiée dès l'Antiquité, est caractéristique des problèmes généraux rencontrés en algorithmique.

Historiquement, une fois reconnue l'existence d'un rapport constant entre circonférence et diamètre d'un cercle, la première approche a consisté à déterminer le nombre π par des mesures physiques : l'on obtient de la sorte des valeurs approchées du type 3 (comme dans la Bible), 3 et 1/7 ou 3 et 1/8. Cependant à ce stade, rien n'indique que π soit un nombre calculable, c'est-à-dire qu'une méthode existe qui permette de le déterminer avec une précision arbitrairement grande. Il revient à Archimède (287-212 av. J.-C.) d'avoir le premier proposé un algorithme de calcul de π.

Le principe de l'algorithme d'Archimède est le suivant : Soit pn le périmètre d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1/2. Archimède observe que :

et il évalue la limite au moyen de la suite p6, p12, p24, p48... obtenue par doublements successifs du nombre de côtés. Soit un = (1/npn la longueur du côté d'un n-gone ; de propriétés géométriques élémentaires se déduit la récurrence :
laquelle se vérifie trigonométriquement grâce aux relations :
et à la formule générale :

Partant des valeurs connues pour l'hexagone :

on calcule de proche en proche par (1) les valeurs p6, p12, p24... par une succession d'opérations algébriques. Les premières valeurs des approximations πm = p6.2m ainsi obtenues sont présentées dans le tableau.

Algorithmes de calcul de p

Algorithmes de calcul de p

Tableau

Comparaison des approximations fournies par les trois algorithmes de calcul de p. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Dans un langage de spécification d'algorithmes, l'algorithme de calcul de πm s'exprime sous la forme :

Cela correspond à une spécification complète d'un enchaînement d'opérations élémentaires (+, −, ×, ÷, √) sur les nombres réels.

Pour un calcul effectif de π, on doit de plus déterminer la relation entre la valeur de m choisie et l'écart |π − πm| ainsi que la précision nécessaire des calculs intermédiaires.

On observe par exemple que la formule (1) met en jeu la différence de deux quantités très [...]

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Pour citer l’article

Philippe COLLARD, Philippe FLAJOLET, « ALGORITHMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 janvier 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/algorithmique/