ALGORITHMIQUE

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Algorithmes de calcul de p

Algorithmes de calcul de p
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Arbre binaire

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Échelle de complexité

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L'exemple du calcul de π

La question du calcul du nombre π = 3,141 592 6... (rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle), étudiée dès l'Antiquité, est caractéristique des problèmes généraux rencontrés en algorithmique.

Historiquement, une fois reconnue l'existence d'un rapport constant entre circonférence et diamètre d'un cercle, la première approche a consisté à déterminer le nombre π par des mesures physiques : l'on obtient de la sorte des valeurs approchées du type 3 (comme dans la Bible), 3 et 1/7 ou 3 et 1/8. Cependant à ce stade, rien n'indique que π soit un nombre calculable, c'est-à-dire qu'une méthode existe qui permette de le déterminer avec une précision arbitrairement grande. Il revient à Archimède (287-212 av. J.-C.) d'avoir le premier proposé un algorithme de calcul de π.

Le principe de l'algorithme d'Archimède est le suivant : Soit pn le périmètre d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1/2. Archimède observe que :

et il évalue la limite au moyen de la suite p6, p12, p24, p48... obtenue par doublements successifs du nombre de côtés. Soit un = (1/npn la longueur du côté d'un n-gone ; de propriétés géométriques élémentaires se déduit la récurrence :
laquelle se vérifie trigonométriquement grâce aux relations :
et à la formule générale :

Partant des valeurs connues pour l'hexagone :

on calcule de proche en proche par (1) les valeurs p6, p12, p24... par une succession d'opérations algébriques. Les premières valeurs des approximations πm = p6.2

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Pour citer l’article

Philippe FLAJOLET, Philippe COLLARD, « ALGORITHMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 novembre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/algorithmique/