NORMÉES ALGÈBRES

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La notion d'algèbre normée

Définition

Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d'une structure d'anneau et d'une norme (se reporter à l'article anneaux et algèbres).

Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies :

a) On définit sur A deux lois de composition interne, addition et multiplication, qui munissent A d'une structure d'anneau ;

b) On définit une loi de composition externe, multiplication par les scalaires complexes, qui, jointe à la loi interne d'addition, munit A d'une structure d'espace vectoriel sur C ;

c) Les structures d'anneau et d'espace vectoriel sont compatibles en ce sens que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a et b de A, on a :

d) On définit sur A une norme, c'est-à-dire une application x ↦ ∥x∥ de A dans l'ensemble des nombres réels positifs telle que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a, b et c de A, on ait :

si et seulement si a = 0, élément neutre de l'addition dans A,

e) La distance déduite de la norme (la distance de deux éléments a et b étant, par définition, ∥a − b∥) munit A d'une structure d'espace complet (cf. espaces métriques, chap. 3).

Pour cette raison, les algèbres normées sont fréquemment appelées algèbres de Banach, par analogie avec les espaces vectoriels normés complets, dits espaces de Banach.

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«  NORMÉES ALGÈBRES  » est également traité dans :

CONNES ALAIN (1947-    )

  • Écrit par 
  • Jacques TITS
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Une seconde étape des travaux de Connes a consisté en l'interprétation géométrique des C*-algèbres à l'aide des feuilletages. Une C*-algèbre (ou, dans la terminologie de Bourbaki, une algèbre stellaire) est une algèbre (sur C) dotée d'une involution * telle que la fonction : ||u2||= rayon spectral de u* […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alain-connes/#i_39638

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Pour citer l’article

René SPECTOR, Jean-Luc SAUVAGEOT, « NORMÉES ALGÈBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 novembre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebres-normees/