NORMÉES ALGÈBRES

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La notion d'algèbre normée

Définition

Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d'une structure d'anneau et d'une norme (se reporter à l'article anneaux et algèbres).

Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies :

a) On définit sur A deux lois de composition interne, addition et multiplication, qui munissent A d'une structure d'anneau ;

b) On définit une loi de composition externe, multiplication par les scalaires complexes, qui, jointe à la loi interne d'addition, munit A d'une structure d'espace vectoriel sur C ;

c) Les structures d'anneau et d'espace vectoriel sont compatibles en ce sens que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a et b de A, on a :

d) On définit sur A une norme, c'est-à-dire une application x ↦ ∥x∥ de A dans l'ensemble des nombres réels positifs telle que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a, b et c de A, on ait :

si et seulement si a = 0, élément neutre de l'addition dans A,

e) La distance déduite de la norme (la distance de deux éléments a et b étant, par définition, ∥a − b∥) munit A d'une structure d'espace complet (cf. espaces métriques, chap. 3).

Pour cette raison, les algèbres normées sont fréquemment appelées algèbres de Banach, par analogie avec les espaces vectoriels normés complets, dits espaces de Banach.

Si la multiplication interne est commutative, on parle d'algèbre normée commutative. Si la multiplication interne possède une unité, on parle d'algèbre normée unitaire.

Exemples

Indiquons trois types fondamentaux d'algèbres normées.

(1) Soit X un espace topologique, et soit A l'ensemble des fonctions continues et bornées sur X, muni des opérations usuelles et de la norme :

c'est une algèbre normée commutative unitaire. (2) Soit E un espace de Banach et soit A = L(E) l'ensemble des applica [...]


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CONNES ALAIN (1947- )

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  • Jacques TITS
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Alain Connes, mathématicien français, a obtenu la médaille Fields en 1982 avec W. P. Thurston (États-Unis) et S. T. Yau (originaire de Chine, vivant aux États-Unis). Alain Connes est né le 1 er  avril 1947 à Draguignan. Ancien élève à l'École normale supérieure, il a reçu, en 1980, le prix Ampère, l'un des plus importants décernés par l'Académie des sciences. Il a été élu membre de cette académie […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alain-connes/#i_39638

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Pour citer l’article

Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR, « NORMÉES ALGÈBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebres-normees/