NORMÉES ALGÈBRES
Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), la théorie des algèbres normées avait primitivement pour objet de placer dans un cadre abstrait et général l'étude de certaines algèbres normées particulières (en l'occurrence, les algèbres de convolution de fonctions intégrables pour une mesure de Haar d'un groupe localement compact) en isolant leurs propriétés les plus marquantes et les plus caractéristiques.
On reconnaît là le processus d'axiomatisation, qui a été si souvent utilisé en mathématiques et qui est si riche de conséquences.
Historiquement issue de l' analyse harmonique (dont l'un des principaux objets est précisément l'étude de l'algèbre de convolution des fonctions intégrables sur un groupe), la théorie des algèbres normées permit par la suite d'obtenir de nouveaux résultats aussi bien en analyse harmonique que dans d'autres branches de l'analyse (cf. analyse harmonique).
La notion d'algèbre normée
Définition
Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d'une structure d' anneau et d'une norme (se reporter à l'article anneaux et algèbres ).
Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies :
a) On définit sur A deux lois de composition interne, addition et multiplication, qui munissent A d'une structure d'anneau ;
b) On définit une loi de composition externe, multiplication par les scalaires complexes, qui, jointe à la loi interne d'addition, munit A d'une structure d'espace vectoriel sur C ;
c) Les structures d'anneau et d'espace vectoriel sont compatibles en ce sens que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a et b de A, on a :
d) On définit sur A une norme, c'est-à-dire une application x ↦ ∥x∥ de A dans l'ensemble des nombres réels positifs telle que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a, b et c de A, on ait :
e) La distance déduite de la norme (la distance de deux éléments a et b étant, par définition, ∥a − b∥) munit A d'une structure d'espace complet (cf. espaces métriques, chap. 3).
Pour cette raison, les algèbres normées sont fréquemment appelées algèbres de Banach, par analogie avec les espaces vectoriels normés complets, dits espaces de Banach.
Si la multiplication interne est commutative, on parle d'algèbre normée commutative. Si la multiplication interne possède une unité, on parle d'algèbre normée unitaire.
Exemples
Indiquons trois types fondamentaux d'algèbres normées.
(1) Soit X un espace topologique, et soit A l'ensemble des fonctions continues et bornées sur X, muni des opérations usuelles et de la norme :
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Écrit par
- Jean-Luc SAUVAGEOT : agrégé de mathématiques, docteur ès sciences, chargé de recherche au C.N.R.S.
- René SPECTOR : professeur à l'université d'Orléans
Classification
Pour citer cet article
Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR, « NORMÉES ALGÈBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :
Autres références
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CONNES ALAIN (1947- )
- Écrit par Jacques TITS
- 6 833 mots
Alain Connes, mathématicien français, a obtenu la médaille Fields en 1982 avec W. P. Thurston (États-Unis) et S. T. Yau (originaire de Chine, vivant aux États-Unis).
Alain Connes est né le 1er avril 1947 à Draguignan. Ancien élève à l'École normale supérieure, il a reçu, en 1980, le prix[...]
Voir aussi
- CONVOLUTION PRODUIT DE
- IDÉAL, mathématiques
- MAXIMAL IDÉAL
- FONCTIONS ALGÈBRE DE
- NORME, mathématiques
- CARACTÈRE, mathématiques
- TRACE, mathématiques
- HAAR MESURE DE
- BANACH ALGÈBRE DE
- INVOLUTION, mathématiques
- ATIYAH-SINGER THÉORÈME D'
- FOURIER SÉRIE DE
- TOPOLOGIQUE ALGÈBRE
- OPÉRATEUR
- ANALYSE FONCTIONNELLE
- BANACH ESPACES DE
- INDICE THÉORÈME DE L'
- SPECTRE, algèbre
- RÉGULIER IDÉAL
- GELFAND TRANSFORMATION DE
- NEUMANN ALGÈBRE DE
