ALGÈBRE

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La théorie des groupes

La structure de groupe

La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se concevrait pas sans elle. Cependant, il a fallu presque un siècle pour que se dégage sous forme abstraite cette notion qui est maintenant introduite couramment dans l'enseignement secondaire.

Axiomatiquement, un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne (x, y) ↦ x*y associative [c'est-à-dire (x*y)*z = x*(y*z)] telle qu'il existe un élément privilégié e, appelé élément neutre, tel que x*e = e*x = x et telle que tout élément ait un inverse (c'est-à-dire pour tout x il existe un élément y tel que x*y = y*x = e). Un tel groupe est dit abélien, ou commutatif, si x*y = y*x.

Les ensembles usuels de nombres (entiers relatifs, nombres rationnels, nombres complexes) sont des groupes abéliens pour l'addition ; les ensembles des nombres rationnels non nuls, ou réels non nuls, sont des groupes abéliens pour la multiplication. Un important exemple de groupe non commutatif est celui des transformations de notre espace usuel à trois dimensions qui conservent la distance de deux points (ce sont les déplacements). Elles constituent un groupe non abélien si on convient que le produit S * T de deux transformations S et T est la transformation obtenue en effectuant successivement la transformation T puis la transformation S.

Les groupes finis

Le premier exemple de groupe formé d'éléments de nature assez différente de celle des nombres est fourni par les travaux de Gauss sur les formes quadratiques ax2 + bxy + cy2, où a, b, c sont des entiers relatifs premiers entre eux. Deux telles formes étant dites équivalentes si l'on passe de l'une à l'autre par un changement de variable x′ = px + [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ALGÈBRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/