ALGÈBRE

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La théorie des groupes

La structure de groupe

La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se concevrait pas sans elle. Cependant, il a fallu presque un siècle pour que se dégage sous forme abstraite cette notion qui est maintenant introduite couramment dans l'enseignement secondaire.

Axiomatiquement, un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne (x, y) ↦ x*y associative [c'est-à-dire (x*y)*z = x*(y*z)] telle qu'il existe un élément privilégié e, appelé élément neutre, tel que x*e = e*x = x et telle que tout élément ait un inverse (c'est-à-dire pour tout x il existe un élément y tel que x*y = y*x = e). Un tel groupe est dit abélien, ou commutatif, si x*y = y*x.

Les ensembles usuels de nombres (entiers relatifs, nombres rationnels, nombres complexes) sont des groupes abéliens pour l'addition ; les ensembles des nombres rationnels non nuls, ou réels non nuls, sont des groupes abéliens pour la multiplication. Un important exemple de groupe non commutatif est celui des transformations de notre espace usuel à trois dimensions qui conservent la distance de deux points (ce sont les déplacements). Elles constituent un groupe non abélien si on convient que le produit S * T de deux transformations S et T est la transformation obtenue en effectuant successivement la transformation T puis la transformation S.

Les groupes finis

Le premier exemple de groupe formé d'éléments de nature assez différente de celle des nombres est fourni par les travaux de Gauss sur les formes quadratiques ax2 + bxy + cy2, où a, b, c sont des entiers relatifs premiers entre eux. Deux telles formes étant dites équivalentes si l'on passe de l'une à l'autre par un changement de variable x′ = px + qy et y′ = rx + sy, où p, q, r, s sont des entiers relatifs tels que ps − qr = 1, Gauss définit sur l'ensemble des classes de formes, de discriminant D = b2 − 4 ac donné, une loi de composition qui en fait un groupe abélien fini. Dans ses Disquisitiones arithmeticae de 1801, Gauss rencontre également d'autres groupes finis tels que le groupe additif des entiers modulo un entier m ou le groupe multiplicatif des racines m-ièmes de l'unité dans le corps des nombres complexes, mais la notion de groupe n'apparaît pas formulée avec netteté avant Cauchy. En 1830, dans ses travaux sur la résolubilité des équations algébriques, Galois ramène l'étude d'une telle équation à celle du groupe (fini) de permutations de ses racines ; à ce propos, l'auteur introduit les notions fondamentales de sous-groupe distingué et de suite normale. Les groupes finis, et plus précisément les groupes de permutations, vont être l'objet presque exclusif de la théorie des groupes pendant de nombreuses années ; les résultats les plus profonds obtenus dans ce domaine au xixe siècle sont ceux de Jordan (Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, 1870) et de Sylow sur la structure des groupes finis. Beaucoup plus récemment, en liaison avec des préoccupations d'arithmétique et de géométrie algébrique, la théorie des groupes finis a connu un nouvel essor ; les découvertes les plus spectaculaires de ces dernières années sont surtout relatives aux caractères et aux représentations linéaires de ces groupes : travaux de Brauer, Chevalley, Feit-Thomson, Novikov.

Groupes et géométrie

C'est à Jordan que remonte la première étude de groupes contenant une infinité d'éléments, notion qui allait prendre une importance considérable durant la deuxième moitié du xixe siècle. En liaison avec le renouveau des études géométriques et les préoccupations axiomatiques de cette époque, la notion de groupe de transformation va prendre un essor considérable avec l'étude systématique des invariants d'un tel groupe, i.e. l'étude des propriétés qui ne sont pas modifiées par les transformations du groupe. Ainsi, dans notre espace usuel à trois dimensions, les angles et les distances ne sont pas changés par un déplacement, les angles et les rapports de longueurs restent invariants par une similitude, la notion de parallélisme ou la nature d'une conique sont invariantes par une transformation linéaire régulière des coordonnées. C'est F. Klein, dans son célèbre « programme d'Erlangen », de 1872, qui dégagera un principe général, que nous énoncerons sous une forme volontairement vague et intuitive : la donnée d'un espace et d'un groupe de transformations opérant sur cet espace définit une « géométrie », qui est l'étude des propriétés qui restent invariantes lorsqu'on applique les transformations du groupe. Ainsi, la géométrie métrique (resp. affine, resp. projective) est l'étude des propriétés invariantes par le groupe orthogonal (resp. affine, resp. projectif) et cette théorie constitue un langage commun qui englobe à la fois les géométries euclidiennes et non euclidiennes construites à cette époque ; la théorie de la relativité allait attirer l'attention sur la géométrie construite à partir du groupe de Lorentz, qui joue un rôle essentiel dans les théories quantiques.

Les travaux de Klein allaient également mettre en évidence la notion des groupes isomorphes : en 1877, Klein découvre que le groupe de permutation des racines de l'équation du cinquième degré est substantiellement identique au groupe des transformations du polyèdre régulier appelé icosaèdre ; bien que techniquement cette notion de groupes isomorphes ait été utilisée par Galois et même Gauss dans des cas particuliers, elle n'apparaît sous forme générale qu'à cette époque. En fait, ce n'est que beaucoup plus récemment que la notion d'isomorphisme a pris toute sa valeur, avec les développements de l'axiomatique mettant en évidence le fait que toute structure porte en elle une notion d'isomorphisme. Cette « identification » des groupes isomorphes allait conduire à la théorie de la représentation linéaire des groupes, qui est la recherche et l'étude de groupes de matrices isomorphes (ou, à défaut, homomorphes) à un groupe donné.

Les travaux précédents sur la géométrie avaient mis en évidence l'importance des « groupes continus » ; sous l'action de S. Lie et de ses élèves, puis de É. Cartan, cette notion allait être le germe d'une des théories les plus centrales des mathématiques contemporaines : la théorie des groupes de Lie, tandis que l'exemple des groupes classiques conduisait à la théorie des groupes algébriques qui admet d'importantes applications en géométrie algébrique et en théorie moderne des nombres.

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ALGÈBRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/