GROTHENDIECK ALEXANDER (1928-2014)

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Né le 28 mars 1928 à Berlin d'un père russe (assassiné par les nazis) et d'une mère allemande, Alexander Grothendieck est venu comme réfugié en France à l'âge de treize ans et y a toujours vécu, restant longtemps apatride par respect des convictions philosophiques de son père. Il est naturalisé français en 1971. Professeur à l'Institut des hautes études scientifiques (IHES) de 1960 à 1969, il a renoncé ensuite aux recherches mathématiques pour se consacrer à la propagande en faveur du pacifisme et de la conservation de l'environnement.

Les idées nouvelles introduites par Grothendieck et les résultats qu'il en a déduits comptent parmi les plus importants des mathématiques contemporaines. De 1952 à 1955, ses travaux ont permis des progrès décisifs (les plus remarquables depuis Banach) à la théorie des espaces vectoriels topologiques, notamment par l'étude générale des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, qui jouent un rôle fondamental dans les applications de la théorie des distributions. En 1955-1957, Grothendieck a considérablement élargi l'algèbre homologique en la développant dans le cadre des catégories abéliennes, ce qui lui a permis entre autres d'obtenir une notion générale et souple de cohomologie des faisceaux. À partir de 1957, ses travaux ont été centrés sur la géométrie algébrique et sur les applications de celle-ci à la théorie des nombres.

En premier lieu, il a obtenu l'extension (sous une forme plus générale) du théorème de Riemann-Roch pour les variétés algébriques complexes (démontré en 1953 par Hirzebruch) aux variétés algébriques sur un corps quelconque, à l'aide d'une notion nouvelle très originale que l'on appelle maintenant « groupe de Grothendieck » et qui, sous le nom de K-théorie, a rapidement envahi des parties des mathématiques aussi diverses que la théorie des équations aux dérivées partielles, la topologie différentielle, l'algèbre et la théorie des nombres.

À partir de 1958, Grothendieck s'est attaché à une tâche gigantesque, une formulation extrêmement générale des notions de base de la géométrie algébrique, la théorie des schémas englobant, entre autres, toute l'algèbre commutative et permettant d'éliminer toute une série d'hypothèses parasites qui encombraient la théorie classique et formaient obstacle à son développement dans toutes les directions. Les ouvrages et séminaires qu'il a publiés sur ce sujet couvrent plusieurs milliers de pages et sont remplis d'idées nouvelles et fécondes : changement de base général, théorie de la « descente », schémas formels, foncteurs représentables, etc. La plus remarquable est sans doute celle des « topologies de Grothendieck », où les ouverts sont remplacés par des morphismes, mais qui permet de définir de nouveaux espaces de cohomologie pour les variétés algébriques ; ce sont les propriétés de cette cohomologie qui ont permis de prouver les conjectures de Weil.

Grothendieck a reçu une médaille Fields en 1966, qu’il a refusée pour des raisons politiques. En 1970, il a créé le groupe Survivre et vivre, très marqué par les aspects pacifiques et écologiques de cette époque. Après un poste au Collège de France, où il transmet préférentiellement ses messages politiques, il devient, en 1973, professeur à l’université de Montpellier, puis il rejoint le CNRS en 1984, où il reste jusqu’à sa retraite en 1988. Il reçoit cette année-là le prix Crafoord, qu’il refuse également. Son isolement personnel le conduira à une sorte d’écologie radicale et à s’installer en 1990 à Lasserre, en Ariège, où il vivra coupé de tous. Il meurt à Saint-Girons le 13 novembre 2014.

L’avenir des archives laissées par Grothendieck reste incertain, et cela en dépit de l’importance de cet auteur. Vingt-huit mille pages sont conservées au sein du département de mathématiques de l’université de Montpellier, dont une partie (18 000 pages) a été numérisée et est disponible en ligne. Le reste des archives, quelque soixante-dix mille pages manuscrites, scientifiques et personnelles, aurait dû être remis à la Bibliothèque nationale, bien qu’il existe des incertitudes sur la volonté même de Grothendieck. Quoi qu’il en soit, à la fin du mois de mai 2019, diverses raisons, successorales en particulier – en l’absence d’un mécène qui rachèterait les archives pour en faire don à une institution – bloquaient encore toute évolution en ce sens.

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Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « GROTHENDIECK ALEXANDER - (1928-2014) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/alexander-grothendieck/