Inférieurement

"inférieurement" dans l'encyclopédie

• OPTIMISATION & CONTRÔLE

  • Écrit par Ivar EKELAND
  • 28 034 mots
  • 2 médias

  Existence de solutions optimales La seule méthode connue consiste à se ramener au théorème qui affirme que toute fonction semi-continue inférieurement sur un compact atteint son minimum. Rappelons que f : X → R ∪ {+ ∞} est dite semi-continue inférieurement (s.c.i.) si son épigraphe :est une partie fermée de X × R. Ainsi, toute fonction continue est semi-continue inférieurement.

• CONVEXITÉ Fonctions convexes

  • Écrit par Robert ROLLAND
  • 14 566 mots
  • 6 médias

   4 de l'article convexité – Ensembles convexes) permet de montrer que : L'ensemble h est élément de Γ(E) si et seulement si h est une fonction convexe propre semi-continue inférieurement ou vaut identiquement − ∞. Pour une fonction f de E dans R−, la plus grande fonction g de Γ(E) qui minore f est aussi l'enveloppe supérieure des fonctions affines continues qui minorent f ; dans le cas où f est une fonction convexe et où Af est non vide, g est aussi la plus grande fonction semi-continue inférieurement qui minore f ; si bien que, lorsque f est de plus semi-continue inférieurement, f = g.

• POTENTIEL THÉORIE DU

  • Écrit par Arnaud de la PRADELLE
  • 33 761 mots

  Théorèmes et principes fondamentaux Balayage On appelle S-fonction une fonction u localement bornée inférieurement qui vérifie, pour toute boule B(x, R), la relation : où dσ est la mesure-aire de ∂B et ∫* l'intégrale supérieure. L'utilité de ces fonctions provient de ce que l'enveloppe inférieure d'une famille de S-fonctions localement bornée inférieurement est une S-fonction et que la régularisée semi-continue inférieurement d'une S-fonction est hyperharmonique.

• CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

  • Écrit par Roger GODEMENT
  • 60 120 mots
  • 6 médias

  On dit qu'il est borné supérieurement s'il existe un nombre réel M tel que l'on ait x ≤ M pour tout x ∈ E (rappelons que cette notation signifie que le nombre x appartient à E, ou est un élément de E), et borné inférieurement s'il existe un nombre m tel que l'on ait m ≤ x pour tout x ∈ E. Si E est borné supérieurement et inférieurement (c'est-à-dire s'il existe un intervalle compact qui contient E), on dit que E est borné tout court.

• EXPONENTIELLE & LOGARITHME

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 32 794 mots
  • 8 médias

  vers b par valeurs inférieures) : cette limite en a est la borne inférieure (ou − ∞, si cet ensemble n'est pas borné inférieurement) de l'ensemble des nombres f(x), x ∈ I. Si f est de plus continue, on déduit facilement du théorème 14 bis du même article (chap. 9), dit théorème des valeurs intermédiaires, que f réalise une bijection de I sur l'intervalle J = (α, β), les extrémités correspondantes de I et J étant de même nature, incluses ou exclues simultanément.