Inf

"inf" dans l'encyclopédie

• CALCUL INFINITÉSIMAL Calcul à une variable

  • Écrit par Roger GODEMENT
  • 60 120 mots
  • 6 médias

  Mais, comme sup(A) est inférieur à tous les y ∈ B, on en conclut, par un argument analogue, que sup(A) ≤ inf(B). Pour tout entier p il y a un x ∈ A et un y ∈ B tels que l'on ait :d'où :et par suite y − x ≤ 10-p si inf(B) = sup(A). Inversement, si l'on peut, pour tout p, trouver un x ∈ A et un y ∈ B tels que y − x ≤ 10-p, alors le fait que l'on a x ≤ sup(A) ≤ inf (B) ≤ y montre que inf(B) − sup(A) ≤ 10-p ; cela étant vrai pour tout p, il s'ensuit que sup(A) = inf(B).

• LIMITE NOTION DE

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 6 519 mots

  Gauss avait une conception extrêmement claire de la limite d'une suite de nombres réels (an), puisqu'il la définit (dans un travail inédit Notions fondamentales sur la théorie des suites) comme la valeur commune à lim sup an et lim inf an lorsque ces deux limites extrêmes, qui sont définies de manière précise, coïncident. A. L. Cauchy a imposé la notion de limite à la base du calcul infinitésimal ; la définition qu'il en donne est encore un peu vague : « Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres » (résumé des « leçons » données à l'École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, 1823) ; mais il introduit une notation lim pour la limite, et il montre sur des exemples numériques comment se comportent les limites.

• ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • 162 039 mots

  Un treillis (E, R) est dit distributif si ∀ (a, b, c), (a, b, c) ∈ E×E×E ⇒ [sup (a, inf (b, c)) = inf (sup (a, b), sup (a, c)) et inf (a, sup (b, c)) = sup (inf (a, b), inf (a, c))]. Ces conditions ne sont pas indépendantes, car chacune entraîne l'autre et suffit donc à caractériser la distributivité d'un treillis. Tout treillis distributif est modulaire.

• INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par André REVUZ
  • 33 321 mots

  Si ϕ et ψ en sont deux éléments de V, sup(ϕ, ψ) et inf(ϕ, ψ) appartiennent aussi à V. On peut alors associer à m une forme linéaire I sur V, en posant :pour :et l'on vérifie que, si ϕ s'exprime de deux manières différentes comme combinaisons linéaires de fonctions ϕAi, on obtient bien, dans les deux cas, la même valeur pour I(ϕ). La linéarité de I est évidente.

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 80 988 mots
  • 1 média

  Posons : où Nn est le nombre de points de X à coordonnées dans F<INF>q<INF>nINF>INF>. Voici les « conjonctures de Weil », devenues célèbres car elles sont à l'origine de nombreux travaux de géométrie algébrique depuis les années 1970 : – La fonction Z(X/Fq, T) est une fonction rationnelle de T, qui peut se mettre sous la forme :où les Pi sont de degré bi et leurs racines sont de module qi/2 (ce qui est précisément l'analogue de l'hypothèse de Riemann dans ce cadre) ; – On a une « équation fonctionnelle » pour la fonction zêta ; – Si X provient par réduction d'une variété projective complexe non singulière, alors les bi sont les i-ièmes nombres de Betti de cette variété.