Autoadjoint

"autoadjoint" dans l'encyclopédie

• DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, Universalis
  • 63 986 mots

  Le cas des systèmes différentiels autoadjoints du second ordre Un cas très important pour les applications est celui où : Une condition nécessaire et suffisante pour que L(u) = ∼L(u) est que p0′ = p1, et dans ce cas on peut écrire : Toutefois, si L(u) n'est pas autoadjoint, on peut le rendre tel par multiplication par un facteur convenable : Puisque, ainsi, toute équation du second ordre peut être réduite à sa forme autoadjointe, on peut se borner à l'étude d'équation du type :connue sous le nom d'équation de Sturm-Liouville.

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires

  • Écrit par Claude BARDOS
  • 58 450 mots
  • 3 médias

  C'est l'opérateur autoadjoint (dans l'espace de Hilbert L2(R)) usuel de la mécanique quantique. On cherche alors des conditions suffisantes pour que H(t) reste unitairement équivalent à lui-même, ce qui signifie qu'il existe une famille U(t) d'opérateurs linéaires unitaires de L2(R) sur lui-même tels que l'on ait :Cela se produit, par exemple, si u(x, t) est déformé par translation : On remarque alors que u(x, t) est solution de l'équation : Plus généralement, soit L(t) une famille d'opérateurs antiadjoints dans L2(R), dépendant assez régulièrement du paramètre t (en particulier, leur domaine en tant qu'opérateur antiadjoint est indépendant de t), alors l'équation :admet une unique solution donnée par ϕ(t) = U(t)ϕ0, où U est un opérateur unitaire.