3. Les quaternions
C'est dans le domaine de l'algèbre qu'apparaît le plus clairement la tendance aux généralisations qui caractérise l'œuvre de Hamilton. De même que d'autres mathématiciens de son époque, il a cherché à construire les fondements de l'arithmétique et de l'algèbre, trouvant dans la philosophie de Kant une justification des principales difficultés qui surgissaient. Ainsi, alors que se construisent les premières géométries non euclidiennes (C. F. Gauss, F. Bolyai, N. I. Lobatchewski), il considère la géométrie comme une science s'occupant de l'espace perceptible et l'arithmétique comme une science du temps « pur ». Cette motivation philosophique influence non seulement la forme du commentaire mais régit le choix des fondements : c'est dans cet esprit qu'il introduit les nombres complexes comme des couples de nombres réels sur lesquels on a défini des opérations convenables. Dans ses travaux des années 1832 à 1835 se trouve dessiné son programme scientifique ultérieur. Mais, en contradiction avec son propre propos philosophique, il attache une grande importance à l'interprétation géométrique des nombres complexes, et c'est à partir de là qu'il cherche un calcul algébrique qui s'interpréterait dans l'espace à trois dimensions. Il n'arrive à ce but qu'en 1843, en construisant les quaternions. Dans les années qui suivent cette découverte, il se consacre à son développement et à sa diffusion, en lui trouvant des applications à divers domaines des mathématiques et de la physique.
Les quaternions de Hamilton constituent un des premiers « systèmes de vecteurs » et ont, par leurs conséquences théoriques, beaucoup contribué à l'élaboration de l'algèbre moderne. En même temps que Hamilton, d'autres mathématiciens de l'école anglaise, Gregory, Morgan, ont cherché à construire des systèmes généraux avec n unités indépendantes. Outre les premiers principes de l'algèbre linéaire, qui n'ont été présentés sous forme générale qu'en 1870 par B. Peirce, le caractère non commutatif des opérations a constitué, sur le plan des idées, un pas important vers les notions générales d'algèbre et de loi de composition quelconque.
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