2. Formalisme
Pour un formaliste – dont David Hilbert (1862-1943) est considéré, un peu rapidement, comme le type –, l'existence des objets mathématiques dans un monde qui leur serait propre, ainsi que leur nature, sont des questions à contourner : il faut, dans un premier temps, les négliger. À l'opposé du réaliste, le formaliste propose de considérer que seul compte ce que l'on démontre. Pour lui, ce qu'affirme un énoncé mathématique de manière certaine, c'est l'existence de la démonstration qui y conduit. Pour le formaliste, la vérité c'est la démonstration. Ce sens syntaxique n'exclut pas nécessairement qu'il puisse y en avoir d'autres, mais ils viendront en complément et facultativement, l'essentiel ayant été donné par les démonstrations formelles. L'avantage d'une telle attitude est qu'elle dispense de toute interrogation sur la nature et le sens d'une affirmation. Ce qui importe pour le mathématicien formaliste n'est pas ce qu'exprime un énoncé A concernant le monde mathématique – monde jugé quelque peu mystérieux et difficile à cerner –, ce qui compte est notre capacité de trouver l'assemblage de symboles qui, respectant des règles précises et formulées à l'avance, constitue ce qu'entre mathématiciens, il a été convenu d'appeler une démonstration de A.
Notons que les puissants formalismes élaborés au début du xxe siècle ont rendu possible cette attitude, qui auparavant n'aurait pas eu de sens : c'est donc un progrès technique en logique qui a ouvert la porte à cette nouvelle conception philosophique de la vérité mathématique.
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