6. Variétés riemanniennes
• Structures riemanniennes
Une structure riemannienne sur une variété V est la donnée d'une structure euclidienne sur chacun de ses espaces tangents. Donc, sur une variété riemannienne, si t et t′ sont deux vecteurs tangents au même point m, on peut parler de leur produit scalaire, de leurs longueurs et de leur angle. Bien entendu, pour qu'une telle donnée soit utilisable, il faut que, pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs de classe C∞, la fonction qui à tout point m associe le produit scalaire de X(m) et de Y(m) soit de classe C∞.
Il en résulte qu'une structure riemannienne est donnée par un tenseur τ de type (2, 0) symétrique (c'est-à-dire un tenseur tel que τ(X, Y) = τ(Y, X)) qui vérifie les deux conditions suivantes :
1. Pour tout champ X, on a τ(X, X) ≥ 0,
2. L'égalité τ(X, X)(m) = 0 équivaut à X(m) = 0.
Plus généralement, on peut considérer sur une variété V un tenseur τ de type (2, 0) symétrique tel que, pour tout point m de V, l'application τm soit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur l'espace tangent en m à V ; un tel tenseur est appelé une structure pseudo-riemannienne sur V. On démontre que la signature de τm est constante sur chaque composante connexe de V.
On sait que chacun des espaces tangents à En est, de manière naturelle, identifié à Rn. Il en résulte que, si l'on choisit un produit scalaire sur Rn, alors E, est muni d'une structure riemannienne ; en général, on prendra sur Rn le produit scalaire :
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