5. Théorème de Frobenius
Donnons-nous en chaque point M d'une variété V de dimension n un sous-espace vectoriel SM de dimension p de T(V)M ; on suppose, bien entendu, que les SM varient différentiablement avec M ; un tel système de sous-espaces vectoriels est appelé un système de Pfaff. Une intégrale du système de Pfaff S est un morceau de sous-variété de dimension p de V, qui, en chacun de ses points M, a pour espace tangent le sous-espace vectoriel SM. On dit que S est complètement intégrable si tout point de V est contenu dans une intégrale de S.
Soit X et Y deux champs de vecteurs ; la correspondance qui à toute fonction f associe X(Y(f )) n'est pas un champ de vecteurs ; en effet, son expression dans une carte fait intervenir les dérivées partielles secondes de la fonction f. Au contraire, la correspondance :
On dit que le champ X appartient au système de Pfaff S si, en tout point M de V, le vecteur X(M) est dans le sous-espace SM de T(V)M. Le théorème de Frobenius peut alors s'écrire de la façon suivante : un système de Pfaff S est complètement intégrable si et seulement si, pour tout couple (X, Y) de champs qui appartiennent à S, le crochet [X, Y] appartient à S.
Par exemple, tout système de Pfaff de dimension 1 (c'est-à-dire où SM est de dimension 1, quel que soit M) est complètement intégrable. C'était évident a priori, puisqu'un tel système peut être localement défini par un champ de vecteurs X qui ne s'annule jamais et que les courbes intégrales de l'équation :
Au contraire, les systèmes de Pfaff de dimension p > 1 ne sont en général pas complètement intégrables.
L'étude locale des systèmes de Pfaff étant ainsi complètement terminée, il reste à déterminer l'allure de leurs intégrales maximales, ce qui est l'objet de la théorie des feuilletages.
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