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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

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3.  Tenseurs

•  Formes de degré 1

L'espace vectoriel ℱ des champs de vecteurs de classe C∞ sur V est naturellement muni d'une structure de module sur l'anneau C∞ des fonctions de classe C∞. Une forme ω de degré 1 est une application C∞-linéaire de ℱ dans C∞, c'est-à-dire la donnée, pour tout champ X, d'une fonction ω(X) de classe C∞ de façon que l'on ait :

pour tout couple (X, Y) de champs de vecteurs et pour toute fonction f.

Par exemple, si ϕ est une fonction de classe C∞, la correspondance X ↦ X(ϕ ) est une forme de degré 1. Si V est un ouvert de En, pour tout champ X de fonctions coordonnées (X1, ..., Xn), on a :

c'est pourquoi cette forme de degré 1 est appelée la différentielle de ϕ et on la note dϕ.

Une forme de degré 1 définit en tout point m un élément du dual T(V)m* de l'espace tangent T(V)m. On peut construire un fibré vectoriel de base V dont les fibres sont les espaces duaux T(V)*m ; les formes de degré 1 sont alors les sections de classe C∞ de ce fibré. […]

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CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

Écrit par :  Georges GLAESER

Dans le chapitre "Le théorème des fonctions implicites et ses variantes"  : …  applications différentiables satisfaisant aux énoncés précédents sont localement des morceaux de « *variétés différentiables », qui devront être convenablement recollés pour aboutir à une théorie globale. Un théorème beaucoup plus fin, démontré par J. Nash (1956), concerne le cas où DA1 f, sans être surjective, a une… Lire la suite
COSMOLOGIE

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Dans le chapitre "L'Univers de la relativité générale"  : …  mathématiciens appellent variété, et plus particulièrement, dans le cas qui nous occupe, *variété différentiable ou riemannienne, un tel espace généralisé. On peut dire que la variété espace-temps est aussi complexe (et donc riche en structures), par rapport à un espace euclidien à quatre dimensions, qu'une surface arbitraire… Lire la suite
DONALDSON SIMON KIRWAN (1957- )

Écrit par :  Bernard PIRE

…  que les variétés topologiques permettaient un signe ou l'autre. Donaldson démontra que si une *variété est différentiable, le déterminant associé est positif. Cela implique qu'il existe des variétés exotiques qui sont topologiquement équivalentes à l'espace euclidien R4, mais qui ne lui sont pas différentiellement équivalentes. De… Lire la suite
ESPACE, mathématique

Écrit par :  Jean-Marc SCHLENKER

Dans le chapitre "Le paradigme riemannien"  : …  prennent une extension considérable en 1846 dans le mémoire d'habilitation de Bernhard Riemann.* Riemann, loin de se restreindre à considérer des surfaces dans l'espace, introduit des objets de dimension quelconque (qu'on appelle aujourd'hui variétés différentielles) qui admettent au voisinage de chaque point un système de coordonnées… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

Écrit par :  André MARTINEAU, Henri SKODA

Dans le chapitre "Variétés et espaces analytiques"  : …  cas de la dimension 1) et n'est donc pas plongeable dans un espace projectif comme sous-variété régulière. Parmi les *variétés analytiques compactes, les variétés algébriques ont des propriétés très particulières : elles sont kahlériennes. Cela a permis de faire progresser la théorie des variétés algébriques par voie transcendante (théorie de Hodge… Lire la suite
GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Écrit par :  Paulette LIBERMANN

Dans le chapitre "Définition des surfaces"  : …  -1(Vij). Ces considérations conduisent directement à la notion de *variété différentiable générale. Par exemple, pour la sphère S de centre O et de rayon 1, la représentation paramétrique : n'est pas régulière aux pôles. Par contre, au moyen d'une projection stéréographique de pôle (P(0, 0, 1), on définit une… Lire la suite
INVARIANT, mathématique

Écrit par :  Nicole BERLINE

Dans le chapitre "Invariants en topologie et en géométrie"  : …  peuvent être transformés l'un en l'autre en démêlant ou en emmêlant la ficelle sans la couper. *La dimension d'une variété différentielle est un invariant local par homéomorphisme. De plus, deux variétés de même dimension sont localement isomorphes ; pour les distinguer, il faut faire appel à des invariants globaux qui dépendent, au contraire,… Lire la suite
MORSE HAROLD CALVIN MARSTON (1892-1977)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

… Elle comporte deux niveaux : A) Soit f une fonction réelle de classe C∞ sur une *variété différentielle M de dimension n. Les maximums et minimums relatifs de f forment une partie de l'ensemble des points critiques de f, c'est-à-dire ceux où la différentielle df = 0. Morse s'intéresse à l'… Lire la suite
NOVIKOV SERGUEÏ PETROVITCH (1938- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… de se développer considérablement. En 1965, Novikov prouve l'invariance topologique d'une classe de *variétés différentiables. Ce résultat ouvre la voie à la triangulation de pratiquement toutes les variétés topologiques. Un théorème central de cette démonstration concerne le fait que si une variété se factorise topologiquement en un produit de deux… Lire la suite
POISSON ET NAMBU STRUCTURES DE

Écrit par :  Jean Paul DUFOUR

Dans le chapitre "Vers la géométrie symplectique"  : …  1, ..., qn) varient dans un ouvert de ℝn, mais,* même dans des cas classiques comme la mécanique du corps solide, l'espace des configurations est plus compliqué : c'est une variété différentiable (cf. variétés différentiables) que l'on notera Q. Alors on généralise la situation… Lire la suite
PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Espace projectif. Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par : La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P(E). L'ensemble E est… Lire la suite
RICCI-CURBASTRO GREGORIO (1853-1925)

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RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

Écrit par :  Michel HERVÉ

Dans le chapitre "Variétés riemanniennes"  : …  1, ..., dxn, à coefficients fonctions continues de x :* il s'agit donc maintenant de variétés différentiables. Sur une variété plane, ds2 est la somme des carrés de n différentielles exactes. Dans la troisième section, prenant n = 2, Riemann remarque que l'existence… Lire la suite
SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Écrit par :  Alain CHENCINER

… à l paramètres « suffisamment générale » d'applications indéfiniment différentiables d'une *variété N dans une variété P ? –  Peut-on décrire de quelle façon ces singularités se transforment les unes dans les autres dans une telle famille lorsque les paramètres varient ? Nous envisagerons surtout le cas des fonctions f à valeurs… Lire la suite
SMALE STEPHEN (1930- )

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien américain né le 15 juillet 1930 à Flint (Michigan). Après des études à l'université du Michigan (où il passa son doctorat en 1956), Stephen Smale enseigna à l'université Columbia (1961-1964), puis à Berkeley à partir de 1964. En 1966, il reçut le prix Veblen de l'American Mathematical Society et la médaille Fields au congrès de Moscou… Lire la suite
SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Alain CHENCINER

…  qu'en une singularité hyperbolique p d'un champ de vecteurs différentiable défini sur une *variété différentiable, c'est-à-dire en un équilibre de l'équation associée tel que le spectre de l'équation linéarisée ne rencontre pas l'axe imaginaire, il existe un homéomorphisme local h qui, au voisinage de la singularité, transporte le… Lire la suite
THOM RENÉ (1923-2002)

Écrit par :  David AUBIN

… Princeton, Thom s'installe à Grenoble (1953), puis retourne à Strasbourg où il est nommé professeur (1954-1963). *Pendant son second séjour strasbourgeois, il met au point la théorie du « cobordisme », travail de topologie différentielle qui sera couronné en 1958. Il montre comment construire l'algèbre graduée des classes d'équivalence des variétés… Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie algébrique

Écrit par :  Claude MORLET

Dans le chapitre "Les espaces fibrés"  : …  projection de η(y)). Citons deux exemples de fibrés localement triviaux. 1. Soit B une *variété différentiable de dimension n et soit Y la variété de ses vecteurs tangents. En associant à tout vecteur tangent son point de contact, on peut définir un fibré ϕ : Y → B qui a pour fibre Rn ; il est… Lire la suite
WHITEHEAD JOHN HENRY CONSTANTINE (1904-1960)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Né à Madras, neveu du philosophe et logicien Alfred North Whitehead, J. H. C. Whitehead fit ses études à Oxford ; il y rencontra, en 1920, O. Veblen, avec qui il collabora pendant trois ans à Princeton. Whitehead enseigna à l'université d'Oxford de 1932 à 1946 ; il passa ensuite une année à l'Institute for Advanced Study, puis retourna à Oxford de… Lire la suite

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Carte de la sphère S2 Cylindre et bande de Möbius Carte de la sphère S2 Cylindre et bande de Möbius Courbe de longueur minimum Sphère de Riemann Géométrie de Lobatchevski Variation d'un vecteur sur une courbe (sphère de Riemann) Variation d'un vecteur sur une courbe (1/2 plan de Lobatchevski)

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