2. Vecteurs tangents
Dans ce qui suit, pour tout point M de En, on considère l'espace vectoriel (En)M des vecteurs d'origine M ; cet espace est isomorphe à Rn. Plus précisément, Rn est l'espace vectoriel des vecteurs ayant pour origine le point O. En associant à tout vecteur d'origine M le vecteur d'origine O qui lui est équipollent, on définit un isomorphisme de (En)M sur (En)O = Rn ; l'image inverse de la base naturelle de Rn par cet isomorphisme définit une base naturelle sur (En)M.
• Vecteurs tangents à une sous-variété de En
Soit M un point d'une sous-variété V de classe Ck, avec k ≥ 1, et de dimension p de En et soit (U1, ϕ1) et (U2, ϕ2) deux cartes différentiables au voisinage de M ; les différentielles de ϕ1 au point ϕ1−1(M) et de ϕ2 au point ϕ2−1(M) sont deux applications linéaires de Rp dans Rn qui ont même image, puisqu'elles diffèrent par la différentielle de ϕ1−1 ∘ ϕ2 au point ϕ2−1(M). On dit qu'un vecteur d'origine M dans En est tangent à V en M s'il est parallèle à cette image ; les vecteurs tangents à V en M forment un sous-espace vectoriel de dimension p de (En)M, que l'on notera T(V)M.
Les vecteurs tangents à V en M sont encore les vecteurs vitesse en M des trajectoires tracées sur V et passant par M. Si V est une surface de E3, on retrouve exactement le plan tangent au sens habituel.
Remarquons enfin que les vecteurs tangents à En lui-même au point M sont les vecteurs d'origine M ; donc on a l'égalité T(En)M = (En)M.
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