VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES
On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomètres du xixe siècle et du début du xxe siècle. Les variétés différentiables sont considérées maintenant comme un outil de base des mathématiques. L'exposé qui suit comprend deux parties, conformément à l'idée originale de Riemann.
On trouvera d'abord, aux chapitres 1 à 5, la théorie générale, c'est-à-dire les conséquences de la notion de contact, indépendantes de toute notion métrique. Cette théorie générale des variétés peut être considérée comme la présentation moderne, et probablement définitive, du calcul différentiel.
Une variété différentiable est un espace topologique sur lequel on a pu, d'une façon raisonnable, définir des fonctions différentiables. L'outil essentiel pour ce faire est la notion de carte locale, que l'on retrouve aussi dans les définitions des variétés algébriques, des surfaces de Riemann et des espaces analytiques. Le but du présent exposé n'étant pas de faire une théorie complète des variétés différentiables, on s'est, pour l'essentiel, placé dans le cadre des sous-variétés d'un espace affine. Cette restriction n'est que de faible importance, puisque l'on peut démontrer que toute variété abstraite qui est réunion d'une famille dénombrable de compacts est difféomorphe (cf. chap. 1) à une sous-variété d'un espace affine. De même, on n'étudiera ici que les variétés de classe C∞.
La seconde partie (chap. 6, 7 et 8) est consacrée à la géométrie différentielle, c'est-à-dire aux variétés munies d'une structure métrique. C'est le cas par exemple des sous-variétés des espaces En. Une telle métrique est donnée par un produit scalaire sur chacun des espaces vectoriels tangents ; elle permet de définir des notions de volume, de courbure et de torsion qui généralisent celles que l'on connaît sur les surfaces et les courbes de E3 et E2. La géométrie différentielle est essentiellement l'étude des variétés munies d'une telle métrique. Pour certains problèmes, on doit munir les espaces tangents d'une structure plus riche, ou moins riche, qu'un produit scalaire ; on obtient ainsi par exemple les variétés kählériennes et les variétés pseudo-riemanniennes. Pour garder à l'exposé qui suit le caractère le plus géométrique possible, on n'en parlera pas ici. On ne parlera pas non plus des développements récents de la géométrie différentielle, dont beaucoup auraient plutôt leur place dans un exposé d'analyse fonctionnelle.
L'article géométrie différentielle classique est une bonne introduction, en dimensions 2 et 3, aux considérations développées dans le présent article ; une certaine habitude du calcul différentiel classique (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables) et de l'algèbre linéaire (cf. algèbrelinéaire) est également indispensable.
Notion de variété différentiable
Dans ce qui suit, En désigne l'espace topologique sous-jacent à Rn. Si U est un ouvert de En et Ω un ouvert de Ep, on définit les applications de classe Cr, avec 1 ≤ r ≤ + ∞, de U dans Ω (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables). Les fonctions de classe Cr de U dans R forment une R-algèbre.
Sous-variétés de En
La notion de sous-variété de En est une généralisation de la notion de surface introduite dans l'article géométrie différentielle classique. On dit qu'un sous-ensemble localement fermé V de En est une[...]
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Écrit par
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
Classification
Pour citer cet article
Claude MORLET. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Carte de la sphère S2
Encyclopædia Universalis France
Cylindre et bande de Möbius
Encyclopædia Universalis France
Courbe de longueur minimum
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables
- Écrit par Georges GLAESER
- 5 442 mots
Les « images » et « noyaux » des applications différentiables satisfaisant aux énoncés précédents sont localement des morceaux de « variétés différentiables », qui devront être convenablement recollés pour aboutir à une théorie globale. -
COSMOLOGIE
- Écrit par Marc LACHIÈZE-REY
- 9 300 mots
- 6 médias
...propriétés structurales inhabituelles de cette géométrie. Les mathématiciens appellent variété, et plus particulièrement, dans le cas qui nous occupe, variété différentiable ou riemannienne, un tel espace généralisé. On peut dire que la variété espace-temps est aussi complexe (et donc riche en structures),... -
DONALDSON SIMON KIRWAN (1957- )
- Écrit par Bernard PIRE
- 331 mots
Mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1986. Né le 20 août 1957 à Cambridge (Grande-Bretagne), Simon Kirwan Donaldson fait ses études supérieures au Pembroke College de Cambridge et au Worcester College d'Oxford où il soutient sa thèse de doctorat en 1983. Il occupe ensuite...
-
ESPACE, mathématique
- Écrit par Jean-Marc SCHLENKER
- 1 670 mots
Ces considérations prennent une extension considérable en 1846 dans le mémoire d'habilitation de Bernhard Riemann.Riemann, loin de se restreindre à considérer des surfaces dans l'espace, introduit des objets de dimension quelconque (qu'on appelle aujourd'hui variétés différentielles... - Afficher les 18 références
Voir aussi
- TENSEURS
- EXTÉRIEUR PRODUIT
- TENSORIEL PRODUIT
- CYLINDRE
- GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES
- SPHÈRE
- PRODUIT SCALAIRE
- GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
- FIBRÉ, mathématiques
- LONGUEUR, mathématiques
- CARTE, topologie
- PLAN TANGENT
- PFAFF SYSTÈMES DE
- OPÉRATEUR
- COURBURE, mathématiques
- COURBES RÉGULIÈRES
- GÉODÉSIQUES
- DIFFÉRENTIELLE
- VECTEURS CHAMP DE
- STOKES FORMULE DE
- VOLUME, mathématiques
- DIFFÉOMORPHISME
- CALCUL DIFFÉRENTIEL & INTÉGRAL
- GRADIENT
- FONCTIONS IMPLICITES THÉORÈME DES
- TENSORIEL CALCUL
- VARIÉTÉS PSEUDO-RIEMANNIENNES
- DÉRIVÉE COVARIANTE
- DIFFÉRENTIELLES FORMES
- VARIÉTÉS RIEMANNIENNES
- SOUS-VARIÉTÉ, mathématiques
- GROUPE SPÉCIAL ORTHOGONAL
- VARIÉTÉ À BORD
- VECTEUR TANGENT
- ORIENTATION, topologie
- RIEMANN SPHÈRE DE
- MÖBIUS BANDE DE
- FROBENIUS THÉORÈME DE
- GÉODÉSIQUE DISTANCE
- LOBATCHEVSKI GÉOMÉTRIE DE
- CLASSE D'UNE FONCTION
- DÉRIVATION EXTÉRIEURE
- GÉOMÉTRIE ELLIPTIQUE
- CONNEXION LINÉAIRE
- DÉRIVATION, analyse mathématique
