On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette idée se révéla extrêmement féconde ; elle fut longuement développée par les géomètres du xixe siècle et du début du xxe siècle. Les variétés différentiables sont considérées maintenant comme un outil de base des mathématiques. L'exposé qui suit comprend deux parties, conformément à l'idée originale de Riemann.
On trouvera d'abord, aux chapitres 1 à 5, la théorie générale, c'est-à-dire les conséquences de la notion de contact, indépendantes de toute notion métrique. Cette théorie générale des variétés peut être considérée comme la présentation moderne, et probablement définitive, du calcul différentiel.
Une variété différentiable est un espace topologique sur lequel on a pu, d'une façon raisonnable, définir des fonctions différentiables. L'outil essentiel pour ce faire est la notion de carte locale, que l'on retrouve aussi dans les définitions des variétés algébriques, des surfaces de Riemann et des espaces analytiques. Le but du présent exposé n'étant pas de faire une théorie complète des variétés différentiables, on s'est, pour l'essentiel, placé dans le cadre des sous-variétés d'un espace affine. Cette restriction n'est que de faible importance, puisque l'on peut démontrer que toute variété abstraite qui est réunion d'une famille dénombrable de compacts est difféomorphe (cf. chap. 1) à une sous-variété d'un espace affine. De même, on n'étudiera ici que les variétés de classe C∞.
La seconde partie (chap. 6, 7 et 8) est consacrée à la géométrie différentielle, c'est-à-dire aux variétés munies d'une structure métrique. C'est le cas par exemple des sous-variétés des espaces En. Une telle métrique est donnée par un produit scalaire sur chacun des espaces vectoriels tangents ; elle permet de définir des notions de volume, de courbu […]
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