Issues d'une intuition physique naturelle, les tresses sont des objets mathématiques fascinants, qui apparaissent dans des domaines aussi divers que l'algèbre, la topologie, la géométrie, les équations différentielles, ou encore la physique théorique et la cryptographie. Assez simples pour être accessibles à l'étude, mais en même temps assez compliquées pour donner lieu à des développements intéressants, les tresses fournissent des exemples parfaits de la diversité des approches possibles d'une même notion.
On fait généralement remonter l'étude mathématique des tresses à un article écrit par Emil Artin (1898-1962) en 1926, et c'est aujourd'hui un domaine très actif, où se côtoient résultats profonds et questions ouvertes difficiles. En particulier, l'étude des tresses est directement à l'origine du remarquable renouveau de la théorie des nœuds depuis les années 1980.
1. Approche élémentaire
Le début de la théorie est facile et naturel: il s'agit de dégager une notion mathématique de tresse, et de construire sur les tresses une multiplication qui en fasse un groupe.
• Tresses géométriques
Une tresse, ce sont des brins qui se croisent, avec la seule contrainte que les brins ne rebroussent pas chemin et conservent une même direction générale, par exemple de haut en bas, ou de gauche à droite (fig. 1).
On peut modéliser une tresse à n brins comme la réunion de n courbes de ℝ3 reliant les points (1, 0, 0), ..., (n, 0, 0) aux points (1, 0, 1), ..., (n, 0, 1) et coupant en n points chaque plan z = a pour 0 ≤ a ≤ 1 (fig. 2). Une telle figure sera appelée tresse géométrique à n brins.
À partir de deux tresses géométriques à n brins β1 et β2, on en obtient une nouvelle en plaçant β1 au-dessus de β2 et en comprimant la figure pour qu'elle tienne entre les plans z = 0 et z = 1. Le résultat, noté β1β2, est appelé produit de β1 et β2 (fig. 3).[…]
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