Considérons les trois surfaces représentées sur la figure ci-dessous. L'intuition nous apprend qu'il existe entre les deux premières des propriétés communes que la troisième ne possède pas : on peut déformer continûment les deux premières l'une dans l'autre, mais aucune d'entre elles ne peut être déformée en la troisième. La topologie est la partie des mathématiques qui étudie cette notion, a priori intuitive, de continuité et de limite. L'exposé qui suit est divisé en trois articles. Sous le titre de « Topologie générale », on donnera un fondement mathématique précis à ces notions, puis on envisagera les problèmes les plus généraux, applicables aussi bien à la géométrie qu'aux espaces de fonctions. Dans un deuxième article, on traitera de problèmes géométriques ; l'outil principal sera la définition d'invariants algébriques, d'où le titre de « Topologie algébrique ». Enfin, le troisième article s'occupe des problèmes relatifs aux variétés différentiables. Il va de soi que ce découpage est assez arbitraire et que tous ces problèmes sont étroitement liés.
Jusqu'au début du xixe siècle, les mathématiciens utilisèrent les notions de limite et de continuité sans les définir correctement (cf. calcul infinitésimal - Histoire). C'est à cette époque que A. Cauchy, N. Abel et B. Bolzano définirent la limite d'une suite numérique et la continuité d'une fonction numérique de variable numérique ; ce fut le début de la topologie. À la même époque, pour des études d'électrodynamique, C. F. Gauss posa le problème des enlacements de deux cercles dans l'espace, problème très proche du problème des nœuds) ; au moyen d'une intégrale, il définit un invariant numérique qui peut être considéré comme le plus ancien des invariants de la topologie algébrique.
Quelques années plus tard, B. Riemann définissait les variétés et, de façon assez vague, prévoyait la possibilité de traiter les ensembles de fonctions comme des objets géométriques. Ce ne fut qu'après les études fines des ensembles de points de la droite, du plan et de l'espace, qui […]
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