4. Espaces connexes
En regardant une figure géométrique, chacun sait dire si elle est formée de plusieurs morceaux disjoints. La connexité est la notion mathématique qui correspond à cette réalité physique. Si la figure F est formée de deux morceaux disjoints A et B, tout point de F assez voisin de A est encore dans A, et tout point de B assez voisin de B est encore dans B. Donc A et B sont des ouverts non vides et disjoints de F. Inversement, si F est d'un seul tenant, il n'existe pas de partition de F en deux ouverts non vides disjoints. Mathématiquement, on exprime ce fait en disant que F est connexe.
Les sous-espaces connexes de R sont les intervalles de R, ouverts, semi-ouverts ou fermés, bornés ou non. Si X est connexe et si f : X → Y est une application continue, l'image de f est un sous-espace connexe de Y. En particulier, l'image d'une application continue f : [a, b] → R est un intervalle de R. C'est le théorème de la valeur intermédiaire, qui s'énonce comme suit.
Théorème. Si f est une application continue de [a, b] dans R, quel que soit z compris entre f (a) et f (b), il existe un point c de ]a, b[ tel que f (c) = z (cf. calcul infinitésimal - Calcul à une variable, chap. 9, théorème 14 bis).
Notons encore que, si X est connexe, toute fonction localement constante de X dans Y, c'est-à-dire telle que tout point x de X possède un voisinage sur lequel f est constante, est constante dans X tout entier. Le principe des zéros isolés pour les fonctions analytiques (cf. fonctions analytiques -Fonctions d'une variable, chap. 1) utilise ce type d'argumentation.
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