TOPOLOGIE Topologie générale

2.  Limites

•  Exemples

Dans l'analyse classique, le mot limite peut désigner des choses apparemment très diverses dont on va citer quelques exemples.

1. Limite d'une suite numérique. Soit (x_n) une suite de nombres ; on dit qu'elle converge et que sa limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N, on ait l'inégalité |y − x_n| ≤ ε.

2. Limite uniforme d'une suite de fonctions. Soit (f_n) une suite de fonctions numériques définies sur un ensemble X ; on dit qu'elle converge uniformément et que sa limite est g si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N et pour tout élément z de X, on ait l'inégalité |g(z) − f_n(z)| ≤ ε.

3. Limite en + ∞ d'une fonction numérique définie sur l'intervalle [a, + ∞[. Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle [a, + ∞[ ; on dit qu'elle a une limite en + ∞ et que cette limite est le nombre y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un nombre N tel que l'inégalité x ≥ sup (a, N) entraîne l'inégalité |y − f (x)| ≤ ε.

4. Limite à droite en a d'une fonction numérique définie sur ]a, b[. Soit f une fonction numérique définie sur ]a, b[ ; on dit que f a une limite à droite en a et que cette limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un nombre strictement positif α tel que, pour tout point x qui vérifie a < x ≤ a + α, on ait |y − f (x)| ≤ ε.