Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M varie continûment et, si M tend vers M0, la corde M0M a une position limite qui est T.
En disant que M0M varie continûment, on exprime que, si M s'approche indéfiniment d'un point M1, la droite M0M s'approche indéfiniment de la droite M0M1 ; en disant que M0M a une position limite T, on exprime que, si M s'approche indéfiniment de M0, la droite M0M s'approche indéfiniment de T. On peut donc donner les définitions suivantes :
– L'application f de X dans Y est continue en x1 si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de f (x1) est que x soit assez voisin de x1 ;
– L'application f de X – x0 dans Y a une limite < […]
