Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M varie continûment et, si M tend vers M0, la corde M0M a une position limite qui est T.
En disant que M0M varie continûment, on exprime que, si M s'approche indéfiniment d'un point M1, la droite M0M s'approche indéfiniment de la droite M0M1 ; en disant que M0M a une position limite T, on exprime que, si M s'approche indéfiniment de M0, la droite M0M s'approche indéfiniment de T. On peut donc donner les définitions suivantes :
– L'application f de X dans Y est continue en x1 si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de f (x1) est que x soit assez voisin de x1 ;
– L'application f de X – x0 dans Y a une limite y0 en x0, si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de y0 est que x soit assez voisin de x0.
Pour que ces définitions deviennent des définitions mathématiques, il faut donner un sens précis aux termes « f (x) voisin de f (x1) (ou de y0) » et « x assez voisin de x1 (ou de x0) ». Dans les chapitres 1 et 2, on s'occupera d'abord de définir cette notion de voisinage, puis on donnera les principales propriétés des fonctions continues et des limites. Les chapitres 3 et 4 seront consacrés à l'étude de deux classes d'espaces topologiques très importantes, les espaces compacts et les espaces connexes.
La notion d'espace topologique contient en particulier celle d'espace métrique (cf. espaces métriques) dont l'étude est une excellente introduction à la topologie générale[…]
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