5. Autres développements
• Fibrés vectoriels stables
Soit E et F deux fibrés vectoriels réels de base X, c'est-à-dire deux fibrés localement triviaux dont la fibre est un espace vectoriel sur R (sa dimension est appelée la dimension du fibré) et dont le groupe structural est le groupe des isomorphismes linéaires de cette fibre. On définit un fibré vectoriel réel E ⊕ F, appelé somme de E et de F, dont la fibre en un point x est la somme directe des fibres en x de E et de F ; ce fibré a donc pour dimension la somme des dimensions de E et de F. Si E est le fibré trivial X × Rp → X, la somme de E et de F → X est le fibré Rp × F → X.
On dit que deux fibrés F0 et F1 de base X sont stablement équivalents s'il existe des fibrés triviaux E0 et E1 de base X tels que E0 ⊕ F0 et E1 ⊕ F1 soient isomorphes. Cette notion de classe stable d'un fibré a été introduite en topologie différentielle pour l'étude des fibrés normaux aux variétés ; elle a ensuite pris une grande importance dans le développement de la topologie algébrique moderne.
On note KO(X) l'ensemble des classes stables de fibrés vectoriels réels de base X. La somme des fibrés induit une loi de composition sur KO(X) ; si X est compact (ou si X est un polyèdre), c'est une loi de groupe abélien. On définit de même le groupe K(X) des classes stables de fibrés vectoriels complexes de base X.
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