4. Les espaces fibrés
• Fibrés localement triviaux
Soit ϕ : Y → B une application et soit F un espace topologique. Supposons que, pour tout point b de B, l'ensemble ϕ−1(b) soit homéomorphe à F ; on dit alors que ϕ : Y → B est un fibré de fibre F et de base B. L'ensemble ϕ−1(b) est appelé la fibre du point b.
Un exemple de cette situation est le cas où Y = F × B et où ϕ est la seconde projection du produit Y × B ; ce fibré est appelé le fibré trivial de fibre F et de base B.
Pour tout sous-espace B′ de B et pour tout fibré ϕ : Y → B de fibre F,
Citons deux exemples de fibrés localement triviaux.
1. Soit B une variété différentiable de dimension n et soit Y la variété de ses vecteurs tangents. En associant à tout vecteur tangent son point de contact, on peut définir un fibré ϕ : Y → B qui a pour fibre Rn ; il est localement trivial, car, pour tout ouvert de coordonnées U de B,
2. Soit G un groupe topologique et soit G′ un sous-groupe fermé. Notons ϕ l'application naturelle de G sur l'ensemble des classes à droite G/G′ ; c'est une fibration de fibre G′. Si G est un groupe de Lie et G′ un sous-groupe de Lie, ce fibré est localement trivial. Le […]
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