2. Ensemble simpliciaux et polyèdres
Nous avons dit que l'objet de la topologie algébrique était l'étude des propriétés homotopiques des espaces topologiques ; en fait, ce projet est trop ambitieux : on ne sait que peu de chose des espaces les plus généraux. Mais il existe cependant des classes assez larges d'espaces topologiques pour lesquelles cette étude peut être menée assez loin ; l'une des plus intéressantes est celle des polyèdres.
• La notion de simplexe
On appelle simplexe type de dimension n et on note Δn le sous-espace de Rn+1 formé des points dont les coordonnées (x0, ..., xn) vérifient les deux relations :
Soit Ep un sous-espace vectoriel de Rn+1 qui est engendré par p + 1 des vecteurs de la base naturelle de Rn+1 ; alors Δn ∩ Ep est homéomorphe au simplexe type de dimension p : on dit que c'est une face de dimension p de Δn ; les faces de dimension zéro sont appelées des sommets.
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