3. Problèmes ergodiques en mécanique statistique
Notons d'abord que les développements récents de la mécanique analytique ont permis d'approfondir les idées sur la nature du mouvement des systèmes conservatifs. D'après les lois de la dynamique, le mouvement d'un système classique est représenté par une trajectoire dans l'espace des phases. Mais la notion de trajectoire implique la possibilité d'une détermination d'un état instantané du système, avec une précision absolue. Or, en physique, toutes les mesures qu'on peut effectuer sont d'une précision finie. Par conséquent, la description de l'évolution en termes de trajectoires est une idéalisation valable uniquement quand le mouvement est stable. Des recherches mathématiques en mécanique ont montré que, à l'exception de systèmes très simples, le mouvement est, en général, structuralement instable et dépend d'une manière extrêmement sensible aux conditions initiales. N'importe quel domaine de l'espace des phases, aussi petit soit-il, contient des trajectoires fortement divergentes ou qualitativement distinctes. Dans cette situation, la notion de trajectoire est une idéalisation physiquement inobservable : une description probabiliste en termes de fonction(s) de distribution s'impose alors, et c'est pour cette raison que l'introduction des méthodes probabilistes en mécanique, c'est-à-dire l'introduction de la mécanique statistique, se justifie.
Considérons maintenant un système en équilibre, c'est-à-dire dans un état correspondant à une solution stationnaire de l'équation de Liouville (cas classique) ou de celle de von Neumann (cas quantique). Le système est dit ergodique si la valeur moyenne, équation (1) ou (2), d'un observable quelconque est égale à la moyenne temporelle (cf. mécanique statistique et théorie ergodique). Pour un système fini dont l'énergie est fixée, il n'existe qu'un seul état d'équilibre (la distribution microcanonique) et l'opérateur de Liouville ou de von Neumann admet une valeur propre simple nulle. L'ergod […]
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